Đáp án đề HSG môn toán 9 cấp huyện 2018 2019 chính thức

PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN.. PHẦN TỰ LUẬN... Điểm A di động trên đường tròn sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn.. Các đường cao BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.. Gọi K là giao đi

PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA HƯỚNG DẪN CHẤM THI

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2018 – 2019

Môn: Toán

I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm)

Mỗi câu đúng 0,5 điểm

II PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm)

Câu 1

điểm

a Chứng minh rằng nếu p q, là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2  q2 chia

hết cho 24

a

( 1,5

điểm)

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3

Mặt khác ta có  p 1 p p1 3  p2  1 3 (*) 0,5

Vì p 1;p1 là hai số chẵn liên tiếp nên một số là bội của 2, một số là bội

của 4

Do đó  p 1  p1 p2  1 8 (**) Mặt khác 8,3 1 (***)

0,5

Tương tự ta có: q2  1 24   p2  1  q2  1 p2  q224 0,25

b

( 1,5

điểm)

b Cho 3 số a, b, c thỏa mãn: a b c 1; a   2 b2 c2 1; a3 b3 c3 1

Chứng minh: a2017 b2018 c2019 1

Ta có a 3 +b 3 +c 3 -3abc=(a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 -ab-bc-ca)

0,25

0

ab bc ca 0 abc 0 0

0

a b c









 



0,25

Nếu a = 0 => 2 2

3 3

1 1 1

b c

 









b c 2bc 1 2bc 0

       (a,b,c) =(0,0,1) hoặc (a,b,c) =(0,1,0) 0,5

Vậy mọi trường hợp ta có P = 1

a.

(1,75

điểm)

a Giải phương trình: x3 x2  3x  3 2x  x2   3 2x2  2x

+ Điều kiện xác định:

2 2

3 3 0

2 0

0

3 0

2 2 0

x

x x

    







 



 



  



0,25

+ Viết lại phương trình

x 1 x2  3  2x  x2   3 2x x  1   2x x2  3  x  1 1 0 0,5 + Phương trình 2x x2    3 0 x2  2x  vô nghiệm 3 0 0,5 + Phương trình x  1 1 0   x 0 (thỏa mãn ĐKXĐ) 0,25

b.

( 1,75

điểm)

b Giải hệ phương trình: 2 2 1 7 2 *

1 13

  







Thay y 0 vào hệ ta có: 1 0  0









2

2

1 7

1 7

**

1

x x

x

y y





  





0,25

1

1

2

a x

y

b y



 







 



Kết hợp với ** ta có hệ phương trình:  2

4 3 7

a b

a b



 







 





 

0,5

Với 2

3 1 3

4

1

1 3

x y

a

x

y



 



















 



0, 25

Với

2

1 5

12 5

x

y



 





0,25

Vậy hệ phương trình có nghiệm:  ;  3;1 ; ;   1;1

3

x y  x y  

Câu 4

Cho đường tròn (O) có dây BC cố định không đi qua tâm O Điểm A di động

trên đường tròn sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao BE,

CF của tam giác ABC cắt nhau tại H Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng

EF và BC đoạn thẳng KA cắt (O) tại M Chứng minh rằng

a Tứ giác BCEF nội tiếp được trong đường tròn

b KM KA KB KC 

c Đường thẳng MH luôn đi qua một điểm cố định khi A di động trên

đường tròn (O)

4 điểm

a.

(1

điểm)

Do đó tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp

0,5

b

(1,0

điểm)

Xét KBM và KAC có Kchung; KMB KCA    KBM ~KCA(g.g) 0,25

(1)

KM KA KB KC

c

(2

điểm)

Chứng minh tương tự phần b ta có KE KF KB KC. (2)

Có AEH  AFH  90 0 suy ra tứ giác AEHF nội tiếp(4) 0,25

Từ (3),(4) suy ra 5 điểm A,M,F,H,E cùng thuộc đường tròn

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua O

Chứng minh BH//CA’; CH//BA’ nên BHCA’ là hình bình hành 0,25

Câu 5

Cho các số dương x,y,z thỏa mãn x y z  2018 Tìm giá trị nhỏ nhất của:

2018 2018 4 4

2018

P



1,5 điểm

(1,5

điểm)

2018

P



3

x y z x y z y z



0,5

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ta có: y x 2

4

4

x z y

0,25

Suy ra P  2 + 8 – 3 = 7

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2018

3

Kết luận: min

2018 7

3

P   x  y z

0,25