Đáp án Đề HSG môn toán cấp huyện

hớng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2012 - 2013 Môn thi: Toán Câu ý Định Hớng giải Điểm 1 5đ a 3.0đ ĐKXĐ: 1 0 01 01 0 x x x x x 0,5 Ta có: P = 3 9 3 1 1 1 : 1 2 1 2 x x x x x x x + + + ữ ữ + + 0,5 = [ )1].( )2)(1( 1 )2)(1( 2 )2)(1( 333 + + + + + + + x xx x xx x xx xx 0.75 = )1)(13( 2 )1)(13)(2( )2)(1( )1)(1)(253( += + ++ = + ++ xx x xxx xx xxxx Vậy với x 1,0 x thì P = )1)(13( + xx 0,75 0.5 b 2.0đ Ta thấy x = 4 - 2 3 = ( 1313)13( 2 == x 0.75 Vậy P = )1)(13( + xx = [3 1)13( ]( 113 + ) = (3 3 - 4). 3 = 9- 4 3 0.75 0.5 2 4đ a 2.0đ 13 2+x + 15 452 +x = 37 83 +x + 9 694 +x ( 13 2+x +1)+( 15 452 +x -1)=( 37 83 +x +1)+( 9 694 +x -1) + + 13 15x 15 )15(2 +x = 37 )15(3 +x + 9 )15(4 +x 0) 9 4 37 3 15 2 13 1 )(15( =++x x=-15 Vậy phơng trình có nghiệm x=-15 0,5 0,5 0,5 0,5 b 2.0đ 122 +++ xx + 122 ++ xx = 2 (*) Gii: K : x -1 (*) 2 )11( ++x + 2 )11( +x = 2 1 + x + 1 + 1 1x + = 2 + Nu 1 + x 1 x 0 thỡ (2) 1 + x + 1 + 1 + x - 1 = 2 2 1 + x = 2 0,25 0,5 1 ⇔ 1 + x = 1 ⇔ x + 1 = 1 ⇔ x = 0 (thoả mãn điều kiện) + Nếu 1 + x < 1 ⇔ x < 0 thì : (*) ⇔ 1 + x + 1 + 1 - 1 + x = 2 ⇔ 0 1 + x = 0 ( thoả mãn với mọi –1 < x < 0) Vậy phương trình (*) có nghiệm –1 ≤ x ≤ 0 0,5 0,5 0,25 3 2® Do 0 < x, y, z ≤ 1 đặt a = 1 – x ≥ 0, b = 1- y ≥ 0, c = 1- z ≥ 0 và a + b + c = 1 suy ra z = 1- c = a + b, y = 1 – b = a + c, x = 1- a = c + b Khi đó A = 2 2 2 a b c a b b c c a + + + + + Theo bµi ra a,b,c > 0. Áp dụng BĐT Côsi ta có: 2 2 2 a a b a a b a a b 2 . a a b 4 a b 4 a b 4 + + + + ≥ ⇔ + ≥ + + + 2 a a b a a b 4 + ⇔ ≥ − + Tương tự ta có: 2 b b c b b c 4 + ≥ − + ; 2 c c a c c a 4 + ≥ − + Suy ra: 2 2 2 a b c a b b c c a + + + + + a b c 2 + + ≥ = 1 2 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1 3 suy ra x = y = z = 2 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 1 2 khi x = y = z = 2 3 0. 25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 4 3® Ta có: 1 1 1 1 x y z x y z + + = + + ⇔ 0 1111 =         ++ −+         + zyxzyx ⇔ )( zyxz yx xy yx ++ + + + = 0 ⇔ ( ) 2 11 ( zzyzx xy yx ++ ++ ) = 0 ⇔ (x+y)(xz+yz+z 2 +xy) = 0 ⇔ (x+y)[z(x+z)+y(x+z)] = 0 ⇔ (x+y)(y+z)(x+z) = 0 ⇔ 2010 2010 2010 2010 2010 2010 ( ) ( ) ( ) x y x y y z y z z x z x  = − = −    = − ⇒ = −     = − = −   Vậy B = (x 2010 – y 2010 )(y 2010 - z 2010 )(z 2010 – x 2010 ) = 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 2 5 5,0đ Hình vẽ x I F M H E K A O B a 1,75 đ Ta có trung tuyến MO =AO = BO = 1 2 AB =>ΔAMB vuông tại M(đlí đảo đường trung tuyến trong tam giác vuông) =>ΔKMF vuông tại M. Tương tự ta cũng có ΔKEF vuông tại E. Gọi G là trung điểm của FK ta có GM=GE=GF=GK= 1 2 FK 0.25 0.5 0.25 0.5 Vậy 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên đường tròn đường kính FK 0.25 b 1,75 đ Ta có HAK∆ cân tại A nên AH = AK (1) 0.25 K là trực tâm của AFB∆ nên ta có FK AB⊥ suy ra FK // AH (2) 0.25 Do đó · · FAH AFK= mà · · FAH FAK= (gt) cho nên · · AFK FAK= 0.25 Suy ra AK = KF, kết hợp với (1) ta được AH = KF (3) 0.25 Từ (2) và (3) ta có AKFH là hình bình hành nên HF // AK. Mà AK IB⊥ suy ra HF IB⊥ . 0.5 c 1,5đ Chu vi của AMB AMB C MA MB AB ∆ ∆ = = + + lớn nhất ⇔ MA + MB lớn nhất (vì AB không đổi). 0.5 Áp dụng bất đẳng thức ( ) ( ) 2 2 2 2a b a b+ ≤ + dấu "=" xảy ra a b⇔ = , ta có ( ) 2 2 2 2 2( ) 2MA MB MA MB AB+ ≤ + = 0.25 Nên MA + MB đạt giá trị lớn nhất bằng 2AB khi và chỉ khi MA = MB hay M nằm chính giữa cung AB. 0.25 Vậy khi M nằm chính giữa cung AB thì AMB C ∆ đạt giá trị lớn nhất. Khi đó 2 (1 2) 2 (1 2) AMB C MA MB AB AB AB AB R ∆ = + + = + = + = + 0.5 6 1® Ta cã: x 2 -100 = 6xy-13y 2 ⇔ x 2 -6xy+9y 2 +4y 2 =100 ⇔ (x-3y) 2 + (2y) 2 =100 ⇔ 22 23 yyx +− = 6 2 +8 2 = 0 2 +10 2 ⇔      = =− 82 63 y yx hoÆc      = =− 62 83 y yx hoÆc      = =− 102 03 y yx hoÆc      = =− 02 103 y yx 0.25 3 + = = 82 63 y yx = = 4 6 y x hoặc = = 4 18 y x + = = 62 83 y yx = = 3 1 y x hoặc = = 3 17 y x + = = 102 03 y yx = = 5 15 y x + = = 02 103 y yx = = 0 10 y x (loại) Vậy cặp các số nguyên dơng (x;y) cần tìm thoả mãn phơng trình đã cho là: (x;y) = { } )5;15(),3;17(),3;1(),4;18(),4;6( . 0.25 0.25 0.25 Chỳ ý : - Nu hc sinh lm theo cỏch khỏc m ỳng vn cho im ti a. 4 . hớng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2012 - 2013 Môn thi: Toán Câu ý Định Hớng giải Điểm 1 5đ a 3.0đ ĐKXĐ: 1 0 01 01 0 x x x x x 0,5 Ta