HSG TOÁN 9 lập THẠCH 2018 2019

PHÒNG GD&ĐT LẬP THẠCH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2018 – 2019 MƠN: TỐN (Thời gian làm 150 phút) − 3−2 x= Câu (3,5 điểm) Cho A= ( x + 1) x 2018 ax = by = cz lấy điểm N b) có chu vi Hỏi điểm M M x + 12 + = x + x + a, b, c phân biệt cho biểu thức sau nhận giá trị abc ABC nhọn với trực tâm cho Câu (4,5 điểm) Cho tam giác a) Chứng minh rằng: ( ab − 1) ( bc − 1) ( ca − 1) Câu (3 điểm) Cho tam giác AEMF + 2x +1 ax + by + cz = a + b + c P= nhật Tính giá trị biểu thức: 1 + + =1 x y z Câu (1điểm) Tìm số tự nhiên nguyên đoạn ) +1 − 2x x + 3x 2019 Câu (3 điểm) Giải phương trình: CH ( Câu (3 điểm) Cho 2a ABC ·AMC = ·ANB = 900 vuông cân E ∈ AB; F ∈ AC H Trên đoạn BH AM = AN Chứng minh A , cạnh bên lấy điểm a M Vẽ hình chữ di động đường ? Từ vẽ đường thẳng điểm cố định MN ⊥ EF ( N ∈ EF ) Câu (1 điểm) Cho số thực dương rằng: a, b, c Chứng minh thỏa mãn ab b a + + ≥ a + b +1 bc + c + ca + c + https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ MN qua abc + a + b = 3ab Chứng minh Câu (1 điểm) Trong mặt phẳng cho 2019 điểm M , M , , M 2019 kính tùy ý Chứng minh tồn điểm SM + SM + + SM 2019 ≥ 2019 Hết - https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ S Vẽ đường tròn bán đường tròn cho HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HSG TOÁN 9, NĂM HỌC 2018 -2019 Câu Câu (3,5 điểm) Nội dung Ta có x= − 3−2 ( ) +1 ( Điểm + 2−3 −2 = (2 )( 3−2 3+2 ) )= 4−2 3 −1 = 1,5 *) Tử 2019 ( x + 1) x − 2x 2019 2018  −1  =  ÷ ÷   2018  −  −  + x + =  + 1÷ ÷ ÷ ÷    2018  −1  −  ÷ ÷    −1  +  ÷ ÷+   2018  −1  −  ÷ ÷   + 3= *) Mẫu  −1   −1  +1 x + 3x =  + = ÷  ÷ ÷  ÷     A= Vậy Câu (3 điểm) Đặt 3 3 = = 3− 3 +1 +1 ax = by = cz = k a+3b+3c= 0,5 Ta có k k k 1 1 + + = k  + + ÷= k x y z x y z ax + by + cz = 1,25 3 1 1 k k k + + = k  + + ÷= k x y z x y z (1) 1,25 (2) ax + by + cz = a + b + c 2 Từ (1) (2), ta Câu (3 điểm) x + + x = x + 12 + ⇔ x + − + 3x − − x + 12 + = ⇔ x2 − x2 + + + 3( x − 2) − x2 − x + 12 + =0   x+2 x+2 ⇔ ( x − 2)  +3− ÷= x + 12 +   x +5 +3 x = ⇔  x+2 x+2  +3− =0  x + + x + 12 + https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 0,5 0,5 0,5 3x > ⇔ x > Từ đặc điểm phương trình suy x+2 x2 + + Câu (1 điểm) > x+2 x + 12 + ⇒ x+2 x2 + + + 3− Vậy phương trình có nghiệm Ta có P = abc − ( a + b + c ) + Do a, b, c M= Do số tự nhiên nên 1 1 + + − a b c abc a, b, c Suy 1 1 + + − a b c abc P , x+2 x + 12 + >0 0,5 x=2 số nguyên 0,5 số ngun có vai trò nhau, khơng tính tổng quát ta giả sử a ≥ 1; b ≥ 2; c ≥ a 4c − ⇒ c < trái với điều kiện Do a +b+c ≥ c ≥ nên từ (*) suy a −1 > ⇒ b −1 > , suy nhận giá trị Từ ta tìm số ( 2;3;5) Vậy số tự nhiên phân biệt vị ( 2;3;5 ) Khi P = 21 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ ( a; b; c ) ( a − 1) ( b − 1) ( a; b; c ) thỏa mãn thỏa mãn toán gồm hoán 0,5 Câu (3 điểm) Gọi BD, CI Ta có hai đường cao ∆ABC ·ANB = 900 , NI ⊥ AB ⇒ AN = AI AB ·AMC = 900 , MD ⊥ AC ⇒ AM = AD AC Vì Mạt khác, ta có AI AC ∆AIC : ∆ADB ⇒ = ⇒ AI AB = AD AC AD AB Từ (1), (2) (3) suy AM = AN 0,5 1,25 (1) (2) 1,25 (3) Câu (4,5 điểm) a) · ME + MF = a, AF + FC = a ⇒ MF = FC ⇒ FCM = 450 ⇒ M ∈ BC Vậy M di động cạnh huyền ABDC , D b) Vẽ hình vng phụ với · EMN 2,5 BC l im c nh ) https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ ả =E MN ⊥ EF ⇒ M 1 (cùng 0,5 Gọi H giao điểm M , N, D suy Dn ti MN FM v ả ả ả BD ∆HMD = ∆MEF ⇒ M = E1 ⇒ M = M 0,5 thẳng hàng qua điểm cố định D 1 Câu abc + a + b = 3ab ⇔ c + + = b a (1điểm Ta có ) x= Đặt A= Ta có 1 ;y = ;z = c a b + xy + x + y ( x + y + 1) ( x + y + 1) 2 , ta có x+ y+ z =3 ta chứng minh 1 + ≥ yz + y + z zx + z + z ≥ ( xy + x + y ) ≥ ( xy + x + y ) 0,5 , ⇔ x + y + ≥ xy + x + y ⇔ ( x + y + 1) ≥ ( xy + x + y ) ⇔ ( x − y ) + ( x − 1) + ( y − 1) ≥ 2 Đẳng thức xảy x = y =1 Do ≥ xy + x + y x + y + Tương tự, ta ≥ yz + y + z y + z + 0,5 ≥ zx + z + x z + x + Suy    1  A ≥ 3 + + ÷≥  ÷=  x + y +1 y + z +1 z + x +1  x + y +1+ y + z +1+ z + x +1 Đẳng thức xảy x = y = z =1⇔ a = b = c =1 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Câu (1 điểm) Xét đường kính đường kính Vì S1S2 tùy ý đường tròn S1S = S1 , S2 hai điểm mút , nên ta có  S1M + S M ≥ S1S2 = S M + S M ≥ S S =  2 2    S1M 2019 + S M 2019 ≥ S1S2 = 0,5 Cộng vế theo vế ta ( S1M + S1M + + S1M 2019 ) + ( S M + S2 M + + S2 M 2019 ) ≥ 2.2019 = 4038 (1) Từ (1) ta có hai tổng có tổng lớn 2019 S1M + S1M + + S1M 2019 ≥ 2019 Giả sử chứng minh https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Khi lấy S ≡ S1 ta có điều phải 0,5 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ PHỊNG GD&ĐT THẠCH HÀ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn thi: Tốn (Thời gian làm bài: 150 phút) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (4,5 điểm) ( A = + 15 )( 10 − ) − 15 Tính giá trị biểu thức Tìm điều kiện xác định biểu thức sau: −2019 2018 N= M= x − 2x + x2 − 2x − Câu (3,0 điểm) Cho số a, b,c khác 0, thỏa mãn a + b+ c = Chứng minh đẳng thức: 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c 1+ 1 1 1 + + + + + + + + 12 22 22 32 20182 20192 Tính giá trị biểu thức: B = Câu (4,5 điểm) Cho đa thức f(x), tìm dư phép chia f(x) cho (x-1)(x+2) Biết f(x) chia cho x - dư f(x) chia cho x + dư x3 - 3x + x + = Giải phương trình: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 5x2 + y2 = 17 – 2xy Câu (3,0 điểm) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c + + ⇔ ( x + 1)( x − > x +1 > ⇔ x − > x + <  x − < x > ⇔  x < −1 Điều kiện xác định N  2 x + ≥ ⇔ x > 2x + ≥  x − x + >   x > ⇔  x < −1 ⇔ x2 > 2x + ⇔ x2 − 2x − > Từ (*) (**) ta x>3 (*) (**) điều kiện xác định M Ta có: = 1 1   1 1   + + ÷ = + + + 2 + + ÷ a b c a b c  ab bc bc  1 a b  1 2(a + b + c )  c 1 + + + 2 + + = 2+ 2+ ÷= + + + a b c b c abc  abc abc abc  a a b c https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c Vậy 1 1 1 1 + 2+ = + + = + − a b c a b c a b a+b Theo câu a) Ta có Áp dụng (*) ta có: 1+ 1 1 1 1 1 + = 2+ 2+ = + + = + − 2 1 (−2) 1 (−2) 1 1+ Tượng tự 1+ 1 1 + = + − 22 32 1+ ; (Vì 1 1 + = + − 32 42 (*) 1 + − >0 1 ) ;… 1 1 + = + − 2 2018 2019 2018 2019 B = 2019 − Suy 4076360 = 2019 2019 x3 - 3x + x + = Û (x +1)(x2 - 4x + 6) = Û x + = (1) x2 – 4x + = (2) Û x =- (1) Û (x- 2)2 + = (2) Do (x- 2)2 + ¹ " x nên pt vơ nghiệm S = { - 1} Vậy tập nghiệm phương trình cho (x- 1)(x + 2) = x2 + x- Vì ax + b Đặt đa thức bậc nên f(x) : ( x − 1)( x + 2) f ( x) = ( x − 1)( x + 2).q( x) + ax + b Theo đề f(x) : (x - 1) dư f(x) : (x + 2) dư ⇒ f (1) = ⇔ a + b = ⇒ f (−2) = ⇔ −2a + b = ⇒ Từ (1) (2) a = b = [ (x- 1)(x + 2)] Vậy f(x) : dư 2x + 5x2 + y2 = 17 – 2xy ⇔ 4x2 + (x + y)2 = 17 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ (1) (2) có đa thức dư dạng ⇒ x ≤ 17 ⇒ x ≤ Nếu x2 = Nếu x2 = Nếu x2 = ⇒ ⇒ ⇒ 17 x2 số phương nên x2 = 0; 1; (x + y)2 = 17 (loại) (x + y)2 = 13 (loại) x = x = - x=2 ⇒ ⇒ (2 + y)2 = ⇒ y = - y = - ⇒ x = -2 (-2 + y)2 = y = y = Vậy phương trình có nghiệm : (x; y) = (2; -3), (2; -1), (-2; 3), (-2; 1) Vì a, b, c ba cạnh tam giác nên b + c > a ⇔ a (b + c ) > a ⇔ a (b + c) + ab + ac > a + ab + ac ⇔ 2a(b + c) > a (a + b + c) ⇔ Tượng tự ta có: a 2a < b+c a+b+c b 2b < c+a a +b+c ; c 2c < b+a a +b+c a b c 2a 2b 2c + + < + + = ( dpcm) b+c c+a a+b a+b+c b+c+a a+b+c Suy ra: Ta có a + b > c 1 1 2 + > + = > = b + c c + a b + c + a c + a + b a + b + c (a + b ) + ( a + b ) a + b Chứng minh tương tự ta có Vậy 1 ; ; a+b b+c c+a 1 + > c+a a +b b+c ; 1 + > a+b b+c c+a độ dài cạnh tam giác (Đpcm) Do AC= ¾ AB (gt) AB.AC = 2S = 48, suy AC = (cm); AB = 8(cm) Áp dụng định lí Pitago tam giác vng ABC ta tính BC = 10 cm, suy AM = (cm) (1) Áp dụng tính chất canh đường cao tam giác vng ABC ta tính BH = AB2 = 3,6(cm) BC (2) https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Áp dụng tính chất đường phân giác cua tam giác ta có IB AB IB AB IB 30 = ⇒ = ⇔ = ⇒ IB = IC AC IB + IC AB + AC 10 + cm (3) Từ (1), (2) (3), ta có I nằm B M; H nằm B I = Vậy: HI = BI - BH = 4,8 cm MI = BM - BI cm Ta có tam giác ODH, EON, FMO đồng dạng với tam giác ABC Đặt SABC = d2 Ta có: SODH a  DH  a DH = = ⇒ = ÷   S ABC d BC d BC 2 ; S EON b b HC  ON   HC  = = = ⇒ = ÷ ÷  BC   BC  S ABC d d BC ; Tương tự c BD = d BC Suy ra: Vậy a + b + c DH + HC + DB = =1⇒ d = a + b + c d BC S = d = (a + b + c )2 Áp dụng BĐT Cosy, ta có: a + b ≥ 2ab; b + c ≥ 2bc; a + c ≥ 2ac S = ( a + b + c) = a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca S ≤ a + b + c + ( a + b ) + (b + c ) + (c + a ) = 3( a + b + c ) Dấu “=” xẩy a = b =c, hay O trọng tâm tam giác ABC Lưu ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa; Điểm tồn quy tròn đến 0,5 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ ... S1M 20 19 + S M 20 19 ≥ S1S2 = 0,5 Cộng vế theo vế ta ( S1M + S1M + + S1M 20 19 ) + ( S M + S2 M + + S2 M 20 19 ) ≥ 2.20 19 = 4038 (1) Từ (1) ta có hai tổng có tổng lớn 20 19 S1M + S1M + + S1M 20 19. .. HSG TOÁN 9, NĂM HỌC 2018 -20 19 Câu Câu (3,5 điểm) Nội dung Ta có x= − 3−2 ( ) +1 ( Điểm + 2−3 −2 = (2 )( 3−2 3+2 ) )= 4−2 3 −1 = 1,5 *) Tử 20 19 ( x + 1) x − 2x 20 19 2018  −1  =  ÷ ÷   2018. .. − 22 32 1+ ; (Vì 1 1 + = + − 32 42 (*) 1 + − >0 1 ) ;… 1 1 + = + − 2 2018 20 19 2018 20 19 B = 20 19 − Suy 4076360 = 20 19 20 19 x3 - 3x + x + = Û (x +1)(x2 - 4x + 6) = Û x + = (1) x2 – 4x + = (2)