PHÒNG GD&ĐT LẬP THẠCH x Câu (3,5 điểm) Cho A ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2018 – 2019 MƠN: TỐN (Thời gian làm 150 phút) 32 1 Tính giá trị biểu thức: x 1 x 2019 x 2018 x x2 3x 1 1 Câu (3 điểm) Cho ax by cz x y z Chứng minh rằng: 3 3 ax by cz a b c 2 Câu (3 điểm) Giải phương trình: x 12 3x x Câu 4(1điểm) Tìm số tự nhiên a, b, c phân biệt cho biểu thức sau nhận giá trị nguyên P ab 1 bc 1 ca 1 abc Câu (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H Trên đoạn BH lấy điểm M � � đoạn CH lấy điểm N cho AMC ANB 90 Chứng minh AM AN Câu (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A , cạnh bên a Vẽ hình chữ nhật AEMF có chu vi 2a E �AB; F �AC a) Hỏi điểm M di động đường ? b) Từ M vẽ đường thẳng điểm cố định MN EF N �EF Chứng minh MN qua Câu (1 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc a b 3ab Chứng minh rằng: ab b a �3 a b 1 bc c ca c Câu (1 điểm) Trong mặt phẳng cho 2019 điểm M , M , , M 2019 Vẽ đường tròn bán kính tùy ý Chứng minh tồn điểm S đường tròn cho SM SM SM 2019 �2019 Hết - HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HSG TOÁN 9, NĂM HỌC 2018 -2019 Câu Câu (3,5 điểm) Nội dung Ta có x 32 1 Điểm 23 2 2 32 32 42 3 1 1,5 *) Tử 2019 x 1 x 2019 2x 2018 2018 � 1 � � 1 � � 1 � � 1 � 2x 1 � � � 1� � � � � 2� � � � 2� � � � � � � � � � � � 2018 2018 � 1 � � 1 � 2� � � � � � � � 3 � � � � *) Mẫu � 1 � � 1 � 1 x 3x � � � � � � � � � � � � 2 A Vậy Câu (3 điểm) 3 3 3 1 1 0,5 3 Đặt ax by cz k Ta có 3 a3b3c k k k �1 1 � k � � k x y z �x y z � ax by cz (1) 1,25 1,25 �1 1 � k k k k � � k x y z �x y z � (2) 3 3 Từ (1) (2), ta ax by cz a b c Câu (3 điểm) 2 x x x 12 0,5 � x 3x x 12 x2 � x2 3 x 2 x2 x 12 0 0,5 � x2 � x2 � x 2 � 3 � x 12 � � x 5 3 x2 � � � x2 � x 3 0 � x2 x 12 � Từ đặc điểm phương trình suy x2 x 5 3 x2 x2 Câu Ta có x 5 3 3x � x 3 x2 , x 12 Vậy phương trình có nghiệm x 2 x 12 � 0,5 2 0 0,5 (1 điểm) 1 1 a b c abc Do a, b, c số tự nhiên nên P số nguyên 1 1 M a b c abc số nguyên Do a, b, c có vai trò nhau, khơng tính tổng qt ta giả sử a b c Suy a �1; b �2; c �3 , suy P abc a b c 0 0,5 1 1 1 1 1 � � M � M 1 a b c abc a b c Suy 1 1 1 a b c abc � a b c a 1 b 1 c 1 (*) Nếu a 1 b 1 �4 với a b c ta có 3c a b c � 3c a 1 b 1 c 1 � 3c c 1 � 3c 4c � c trái với điều kiện c �3 a 1 b 1 Do a b c �6 nên từ (*) suy a � b , suy nhận giá trị Từ ta tìm số a; b; c thỏa mãn 2;3;5 Vậy số tự nhiên phân biệt a; b; c thỏa mãn toán gồm hoán 0,5 2;3;5 vị Khi P 21 Câu (3 điểm) Gọi BD, CI hai đường cao ABC � Ta có ANB 90 , NI AB � AN AI AB � AMC 900 , MD AC � AM AD AC Vì Mạt khác, ta có AI AC � AI AB AD AC AD AB Từ (1), (2) (3) suy AM AN AIC : ADB � 0,5 (1) (2) (3) 1,25 1,25 Câu (4,5 điểm) � a) ME MF a, AF FC a � MF FC � FCM 45 � M �BC Vậy M di động cạnh huyền BC b) Vẽ hình vng � phụ với EMN ) 2,5 � E � ABDC , D điểm cố định MN EF � M 1 (cùng � � � � Gọi H giao điểm FM BD HMD MEF � M E1 � M M suy M , N , D thẳng hàng Dẫn tới MN qua điểm cố định D 0,5 0,5 1 Câu abc a b 3ab � c b a (1điểm Ta có 1 ) x ;y ;z c a b Đặt , ta có x y z ta chứng minh A xy x y 1 � yz y z zx z z Ta có x y 1 �3 xy x y , x y 1 �3 xy x y � x y �xy x y � x y 1 �2 xy x y � x y x 1 y 1 �0 Đẳng thức xảy x y Do 2 � xy x y x y Tương tự, ta � yz y z y z 1 � zx z x z x 0,5 Suy � � � 1 � A � 3� �� � � �x y y z z x � �x y y z z x � Đẳng thức xảy x y z � a b c 0,5 Câu (1 điểm) Xét đường kính S1S2 tùy ý đường tròn S1 , S2 hai điểm mút đường kính Vì S1S2 , nên ta có �S1M S M �S1S2 �S M S M �S S �1 2 2 � � � �S1M 2019 S M 2019 �S1S 0,5 Cộng vế theo vế ta S1M S1M S1M 2019 S2 M S2 M S M 2019 �2.2019 4038 (1) Từ (1) ta có hai tổng có tổng lớn 2019 Giả sử S1M S1M S1M 2019 �2019 Khi lấy S �S1 ta có điều phải chứng minh 0,5 ... HSG TOÁN 9, NĂM HỌC 2 018 -2 0 19 Câu Câu (3,5 điểm) Nội dung Ta có x 32 1 Điểm 23 2 2 32 32 42 3 1 1, 5 *) Tử 2 0 19 x 1 x 2 0 19 2x 2 018 2 018 � 1 � � 1 � � 1. .. ta S1M S1M S1M 2 0 19 S2 M S2 M S M 2 0 19 �2.2 0 19 4038 (1) Từ (1) ta có hai tổng có tổng lớn 2 0 19 Giả sử S1M S1M S1M 2 0 19 �2 0 19 Khi lấy S �S1 ta có điều phải chứng... kính S1S2 tùy ý đường tròn S1 , S2 hai điểm mút đường kính Vì S1S2 , nên ta có �S1M S M �S1S2 �S M S M �S S 1 2 2 � � � �S1M 2 0 19 S M 2 0 19 �S1S 0,5 Cộng vế theo vế ta S1M S1M