PHÒNG GD&ĐT LẬP THẠCH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2018 – 2019 MƠN: TỐN (Thời gian làm 150 phút) − 3−2 x= Câu (3,5 điểm) Cho A= ax = by = cz P= a) lấy điểm N b) có chu vi Hỏi điểm M M a , b, c phân biệt cho biểu thức sau nhận giá trị abc ABC nhọn với trực tâm cho Câu (4,5 điểm) Cho tam giác nhật x + 12 + = 3x + x + ( ab − 1) ( bc − 1) ( ca − 1) Câu (3 điểm) Cho tam giác AEMF Chứng minh rằng: ax + by + cz = a + b + c Câu 4(1điểm) Tìm số tự nhiên nguyên đoạn Tính giá trị biểu thức: 1 + + =1 x y z Câu (3 điểm) Giải phương trình: CH ) +1 ( x + 1) x 2019 − x 2018 + x + x2 + 3x Câu (3 điểm) Cho ( 2a ABC ·AMC = ·ANB = 900 vuông cân E ∈ AB; F ∈ AC H Trên đoạn BH AM = AN Chứng minh A , cạnh bên lấy điểm a M Vẽ hình chữ di động đường ? Từ vẽ đường thẳng điểm cố định MN ⊥ EF ( N ∈ EF ) Câu (1 điểm) Cho số thực dương rằng: a , b, c Chứng minh thỏa mãn MN qua abc + a + b = 3ab Chứng minh ab b a + + ≥ a + b +1 bc + c + ca + c + Câu (1 điểm) Trong mặt phẳng cho 2019 điểm M , M , , M 2019 kính tùy ý Chứng minh tồn điểm SM + SM + + SM 2019 ≥ 2019 Hết - S Vẽ đường tròn bán đường tròn cho HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HSG TOÁN 9, NĂM HỌC 2018 -2019 Câu Câu (3,5 điểm) Nội dung Ta có x= − 3−2 ( ) +1 ( Điểm + 2−3 −2 = (2 )( 3−2 3+2 ) )= 4−2 3 −1 = 1,5 *) Tử 2019 ( x + 1) x − 2x 2019 2018 −1 = ÷ ÷ 2018 − − + x + = + 1÷ ÷ ÷ ÷ 2018 −1 − ÷ ÷ −1 + ÷ ÷+ 2018 −1 − ÷ ÷ + 3= *) Mẫu −1 −1 +1 x + 3x = + = ÷ ÷ ÷ ÷ A= Vậy Câu (3 điểm) Đặt 3 3 = = 3− 3 +1 +1 ax = by = cz = k a+3b+3c= 0,5 Ta có 1,25 k k k 1 1 + + = k + + ÷= k x y z x y z ax + by + cz = 3 (1) 1 1 k k k + + = k + + ÷= k x y z x y z 1,25 (2) ax + by + cz = a + b + c 2 3 Từ (1) (2), ta Câu (3 điểm) x + + x = x + 12 + ⇔ x + − + 3x − − x + 12 + = ⇔ x2 − x2 + + + 3( x − 2) − x2 − x + 12 + 0,5 =0 x+2 x+2 ⇔ ( x − 2) +3− ÷= x + 12 + x +5 +3 x = ⇔ x+2 x+2 +3− =0 x + 12 + x + + 0,5 0,5 3x > ⇔ x > Từ đặc điểm phương trình suy x+2 x2 + + Câu (1 điểm) > x+2 x + 12 + ⇒ x+2 x2 + + + 3− Vậy phương trình có nghiệm Ta có P = abc − ( a + b + c ) + Do a , b, c số tự nhiên nên 1 1 M= + + − a b c abc Do a , b, c Suy 0< 1 1 + + − a b c abc P , x+2 x + 12 + 0,5 >0 x=2 số nguyên 0,5 số ngun có vai trị nhau, khơng tính tổng quát ta giả sử a ≥ 1; b ≥ 2; c ≥ a 4c − ⇒ c < trái với điều kiện Do a +b+c ≥ c ≥ nên từ (*) suy a −1 > ⇒ b −1 > , suy nhận giá trị Từ ta tìm số ( 2;3;5) Vậy số tự nhiên phân biệt vị ( 2;3;5 ) Khi P = 21 ( a; b; c ) ( a − 1) ( b − 1) ( a; b; c ) thỏa mãn thỏa mãn toán gồm hoán 0,5 Câu (3 điểm) Gọi BD, CI Ta có hai đường cao ∆ABC ·ANB = 900 , NI ⊥ AB ⇒ AN = AI AB ·AMC = 900 , MD ⊥ AC ⇒ AM = AD AC Vì Mạt khác, ta có AI AC ∆AIC : ∆ADB ⇒ = ⇒ AI AB = AD AC AD AB Từ (1), (2) (3) suy AM = AN 0,5 1,25 (1) (2) 1,25 (3) Câu (4,5 điểm) a) · ME + MF = a, AF + FC = a ⇒ MF = FC ⇒ FCM = 450 ⇒ M ∈ BC Vậy M di động cạnh huyền ABDC , D b) Vẽ hình vng phụ với · EMN ) 2,5 BC l im c nh ả =E MN EF ⇒ M 1 (cùng 0,5 Gọi H giao điểm M , N, D suy Dẫn ti MN FM v ả ả ả BD HMD = ∆MEF ⇒ M = E1 ⇒ M = M 0,5 thẳng hàng qua điểm cố định D 1 Câu abc + a + b = 3ab ⇔ c + + = b a (1điểm Ta có ) x= Đặt A= Ta có 1 ;y = ;z =c a b + xy + x + y ( x + y + 1) ( x + y + 1) 2 , ta có x+ y+z =3 ta chứng minh 1 + ≥ yz + y + z zx + z + z ≥ ( xy + x + y ) ≥ ( xy + x + y ) 0,5 , ⇔ x + y + ≥ xy + x + y ⇔ ( x + y + 1) ≥ ( xy + x + y ) ⇔ ( x − y ) + ( x − 1) + ( y − 1) ≥ 2 Đẳng thức xảy x = y =1 Do ≥ xy + x + y x + y + Tương tự, ta ≥ yz + y + z y + z + 0,5 ≥ zx + z + x z + x + Suy 1 A ≥ 3 + + ÷≥ ÷= x + y +1 y + z +1 z + x +1 x + y +1+ y + z +1+ z + x +1 Đẳng thức xảy x = y = z =1 ⇔ a = b = c =1 Câu (1 điểm) Xét đường kính đường kính Vì S1S tùy ý đường tròn S1S2 = S1 , S2 hai điểm mút , nên ta có S1M + S M ≥ S1S2 = S M + S M ≥ S S = 2 2 S1M 2019 + S M 2019 ≥ S1S = 0,5 Cộng vế theo vế ta ( S1M1 + S1M + + S1M 2019 ) + ( S2 M + S2 M + + S2 M 2019 ) ≥ 2.2019 = 4038 (1) Từ (1) ta có hai tổng có tổng lớn 2019 S1M + S1M + + S1M 2019 ≥ 2019 Giả sử chứng minh Khi lấy S ≡ S1 ta có điều phải 0,5 ... 20 19 + S M 20 19 ≥ S1S = 0,5 Cộng vế theo vế ta ( S1M1 + S1M + + S1M 20 19 ) + ( S2 M + S2 M + + S2 M 20 19 ) ≥ 2.20 19 = 4038 (1) Từ (1) ta có hai tổng có tổng lớn 20 19 S1M + S1M + + S1M 20 19. .. 20 19 điểm M , M , , M 20 19 kính tùy ý Chứng minh tồn điểm SM + SM + + SM 20 19 ≥ 20 19 Hết - S Vẽ đường tròn bán đường tròn cho HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HSG TOÁN 9, NĂM HỌC 2018 -20 19. .. mãn toán gồm hoán 0,5 Câu (3 điểm) Gọi BD, CI Ta có hai đường cao ∆ABC ·ANB = 90 0 , NI ⊥ AB ⇒ AN = AI AB ·AMC = 90 0 , MD ⊥ AC ⇒ AM = AD AC Vì Mạt khác, ta có AI AC ∆AIC : ∆ADB ⇒ = ⇒ AI AB =