UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI Năm học 2013 – 2014 MƠN: TỐN (Thời gian làm 150 phút) Đề thi gồm 05 câu, 01 trang Câu (4,5 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 3x( x 2) 5x 10 x2 10 b) x3 5x2 8x x2 : x 2 , với x x 2 Cho biểu thức Q x x x 10 x x a) Rút gọn biểu thức Q b) Tính giá trị Q biết x c) Tìm x để Q > Câu (3,0 điểm) Chứng minh số có dạng A n4 6n3 11n2 6n chia hết cho 24 với số tự nhiên n Đa thức f(x) chia cho x dư 4, chia cho x2 dư x Tìm phần dư chia f(x) cho ( x 1)( x2 1) Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau: x 1 x x x 2012 2012 2013 2012 2011 b) ( x2 x)2 2( x 2)2 43 Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 xy 2012 x 2013 y 2014 Câu (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD cạnh a, lấy điểm M cạnh BC (M khác B C) Qua B kẻ đường thẳng vng góc với đường thẳng DM H, kéo dài BH cắt đường thẳng DC K Chứng minh KM vng góc với DB Chứng minh rằng: KC.KD = KH.KB Ký hiệu S ABM , S DCM diện tích tam giác ABM DCM a) Chứng minh tổng (S ABM SDCM ) khơng đổi b) Xác định vị trí điểm M cạnh BC để (S ABM S DCM ) đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ theo a Câu (2,5 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x4 x2 x2 1 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: Đẳng thức xảy nào? -Hết - a 3c a 3b 2a ab a c bc UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL HỌC SINH GIỎI Mơn: Tốn Năm học 2013 - 2014 Đáp án Câu Điểm (2,0 điểm) a) 3x( x 2) 5x 10 = 3x( x 2) 5( x 2) = ( x 2)(3x 5) b) Ta có x3 5x2 8x = ( x3 x2 x) ( x2 x 4) = x( x 2)2 ( x 2)2 = ( x 1)( x 2)2 (2,5 điểm) a) Với x 0; x 2, ta có: Câu (4,5điểm) x2 10 x2 Q : x 2 x2 x( x 2)( x 2) 5( x 2) x x 2( x 2) ( x 2) x2 ( x 2)( x 2) x2 x ( x 2)( x 2) x 1 2 Khi x Q Khi x Q 2 c) Q > x x 2 x2 Kết hợp với ĐKXĐ ta có x 2; x 0; x giá trị cần tìm b) x x 0,5 0,5 0,75 0,25 0,5 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (1,5 điểm) A n4 6n3 11n2 6n = n(n 1)(n 2)(n 3) Vì n; n 1; n ba số tự nhiên liên tiếp nên tồn số chia hết cho Do n(n 1)(n 2) Vì n; n 1; n 2; n bốn số tự nhiên liên tiếp nên có số chẵn liên tiếp, Câu (3 điểm) số chẵn liên tiếp có số chia hết cho 2, số chia hết cho Vậy n(n 1)(n 2)(n 3) Vì ƯCLN(3;8) =1 nên A n4 6n3 11n2 6n chia hết cho 24 (1,5 điểm) Ta có: f(x) chia x dư => f(-1) = Do bậc đa thức chia nên đa thức dư có dạng ax bx c Theo định nghĩa phép chia dư, ta có : 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 f(x) = (x + 1)(x + 1).q(x) + ax + bx + c = (x + 1)(x + 1).q(x) + ax + a - a + bx + c 0,25 = (x + 1)(x + 1).q(x) + a(x + 1) + bx + c - a = [(x + 1).q(x) + a].(x + 1) + bx + c - a Mà f(x) chia cho x dư x Do đó, ta có: b b b c a c a c a b c a c a 0,5 Vậy đa thức dư cần tìm có dạng: x 2x 2 0,25 Câu 1a) (1,0 điểm) (4,0 điểm) x 1 x2 x 3 x 2012 PT 1 1 1 2013 2012 2011 x 2014 x 2014 x 2014 x 2014 0 2013 2012 2011 1 (x – 2014)( ) = 2013 2012 x = 2014 1b) (1,5 điểm) x 0,25 0,25 0,25 0,25 x 2.x 2 43 x x x x 43; 2 Đặt x - 4x = t ĐK t - Khi ta có phương trình: t2 + 2t - 35 = (t + 7)(t – 5) = t = -7 (loại) t = Với t = 5, x2 - 4x - = (x +1)(x – 5) = x = x = -1 Vậy tập nghiệm phương trình S = {-1; 5} 1c) (1,5 điểm) x2 xy 2012 x 2013 y 2014 x2 xy x 2013x 2013 y 2013 0,25 0,25 0,25 0,25 x( x y 1) 2013( x y 1) ( x 2013)( x y 1) 0,25 0,25 0,5 1 x 2013 1 x y 1 1 xx 2013 y 1 x 2014 x 2012 y 2014 y 2014 0,25 Vậy pt cho có nghiệm nguyên (2014 ;-2014), (2012 ; -2014) Câu (6,0 điểm) 0,5 A B H M D C K 0,25 (1,0 điểm) Vì BM DK , DM BK nên M trực tâm BDK KM DB (1,5 điểm) Xét KHD KCB có K chung KHD KCB 900 KHD KCB( gg ) KH KD KC.KD KH KB KC KB 1,0 0,5 1,0 3a) (1,5 điểm) 1 1 AB.BM CD.CM a.BM a.CM 2 2 1 a( BM CM ) a 2 S ABM S DCM không đổi S ABM DCM 3b) (2,0 điểm) Với hai số thực x , y ta có 2( x2 y ) ( x y)2 ( x y)2 ( x y)2 Vậy S x y ( x y)2 Đẳng thức xảy S ABM 0,25 a SDCM BM CM M trung điểm BC 0,5 0,5 a Khi M trung điểm BC (1,0 điểm) Ta có P x x x = ( x2 1)2 x2 10 49 49 ( x2 )2 4 49 10 Vậy Min P = x Đẳng thức xảy x x 0,25 0,25 0,25 10 2 (1,5 điểm) a c a b a b c VT 2 a b a c bc a c a b a c a b Áp dụng bđt cơsi ta có: 2 a b a c a b c 1 (a b c) (a b c) 3 bc ac ab 2.(a b c) bc ac ab 0,25 0,25 2 SCDM ( S ABM S DCM )2 Áp dụng ta có S ABM Câu (2,5điểm) 0,25 0,25 Dấu xảy x = y 2 Vậy ( S ABM SCDM ) 1,0 a 3c a 3b 2a Đẳng thức xảy a = b = c ab ac bc 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 Lưu ý chấm bài: - - Trên sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng Với 4, học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình khơng chấm