104 đề HSG toán 8 nho quan 2013 2014

UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI Năm học 2013 – 2014 MƠN: TỐN (Thời gian làm 150 phút) Đề thi gồm 05 câu, 01 trang Câu (4,5 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 3x( x  2)  5x 10  x2 10   b) x3  5x2  8x   x2  : x  2  , với x  x  2   Cho biểu thức Q    x  x x  10 x     x      a) Rút gọn biểu thức Q b) Tính giá trị Q biết x  c) Tìm x để Q > Câu (3,0 điểm) Chứng minh số có dạng A  n4  6n3 11n2  6n chia hết cho 24 với số tự nhiên n Đa thức f(x) chia cho x  dư 4, chia cho x2  dư x  Tìm phần dư chia f(x) cho ( x  1)( x2  1) Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau: x 1 x  x  x  2012      2012 2013 2012 2011 b) ( x2  x)2  2( x  2)2  43 Giải phương trình nghiệm nguyên: x2  xy  2012 x  2013 y  2014  Câu (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD cạnh a, lấy điểm M cạnh BC (M khác B C) Qua B kẻ đường thẳng vng góc với đường thẳng DM H, kéo dài BH cắt đường thẳng DC K Chứng minh KM vng góc với DB Chứng minh rằng: KC.KD = KH.KB Ký hiệu S ABM , S DCM diện tích tam giác ABM DCM a) Chứng minh tổng (S ABM  SDCM ) khơng đổi b) Xác định vị trí điểm M cạnh BC để (S ABM  S DCM ) đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ theo a Câu (2,5 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x4  x2  x2 1  Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: Đẳng thức xảy nào? -Hết - a  3c a  3b 2a    ab a c bc UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL HỌC SINH GIỎI Mơn: Tốn Năm học 2013 - 2014 Đáp án Câu Điểm (2,0 điểm) a) 3x( x  2)  5x  10 = 3x( x  2)  5( x  2) = ( x  2)(3x  5) b) Ta có x3  5x2  8x  = ( x3  x2  x)  ( x2  x  4) = x( x  2)2  ( x  2)2 = ( x  1)( x  2)2 (2,5 điểm) a) Với x  0; x  2, ta có: Câu (4,5điểm)  x2 10    x2  Q   : x  2  x2   x( x  2)( x  2) 5( x  2) x     x  2( x  2)  ( x  2)    x2      ( x  2)( x  2) x2    x   ( x  2)( x  2) x 1 2 Khi x  Q  Khi x   Q  2 c) Q >    x    x  2 x2 Kết hợp với ĐKXĐ ta có x  2; x  0; x  giá trị cần tìm b) x   x   0,5 0,5 0,75 0,25 0,5 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (1,5 điểm) A  n4  6n3  11n2  6n = n(n  1)(n  2)(n  3) Vì n; n  1; n  ba số tự nhiên liên tiếp nên tồn số chia hết cho Do n(n  1)(n  2) Vì n; n  1; n  2; n  bốn số tự nhiên liên tiếp nên có số chẵn liên tiếp, Câu (3 điểm) số chẵn liên tiếp có số chia hết cho 2, số chia hết cho Vậy n(n  1)(n  2)(n  3) Vì ƯCLN(3;8) =1 nên A  n4  6n3  11n2  6n chia hết cho 24 (1,5 điểm) Ta có: f(x) chia x  dư => f(-1) = Do bậc đa thức chia nên đa thức dư có dạng ax  bx  c Theo định nghĩa phép chia dư, ta có : 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 f(x) = (x + 1)(x + 1).q(x) + ax + bx + c = (x + 1)(x + 1).q(x) + ax + a - a + bx + c 0,25 = (x + 1)(x + 1).q(x) + a(x + 1) + bx + c - a = [(x + 1).q(x) + a].(x + 1) + bx + c - a Mà f(x) chia cho x  dư x  Do đó, ta có:  b  b  b      c  a   c  a     c  a  b  c  a  c      a  0,5 Vậy đa thức dư cần tìm có dạng: x  2x  2 0,25 Câu 1a) (1,0 điểm) (4,0 điểm) x 1 x2 x 3 x  2012 PT  1  1     1  2013 2012 2011 x  2014 x  2014 x  2014 x  2014     0 2013 2012 2011 1  (x – 2014)(    ) = 2013 2012  x = 2014 1b) (1,5 điểm) x     0,25 0,25 0,25 0,25   x  2.x  2  43  x  x  x  x   43; 2 Đặt x - 4x = t ĐK t  - Khi ta có phương trình: t2 + 2t - 35 =  (t + 7)(t – 5) =  t = -7 (loại) t = Với t = 5, x2 - 4x - =  (x +1)(x – 5) =  x = x = -1 Vậy tập nghiệm phương trình S = {-1; 5} 1c) (1,5 điểm) x2  xy  2012 x  2013 y  2014   x2  xy  x  2013x  2013 y  2013  0,25 0,25 0,25 0,25  x( x  y  1)  2013( x  y  1)   ( x  2013)( x  y  1)  0,25 0,25  0,5 1 x  2013  1 x  y 1 1  xx  2013 y  1 x  2014 x  2012   y  2014 y  2014 0,25 Vậy pt cho có nghiệm nguyên (2014 ;-2014), (2012 ; -2014) Câu (6,0 điểm) 0,5 A B H M D C K 0,25 (1,0 điểm) Vì BM  DK , DM  BK nên M trực tâm BDK KM  DB (1,5 điểm) Xét KHD KCB có K chung KHD  KCB  900  KHD KCB( gg )  KH KD   KC.KD  KH KB KC KB 1,0 0,5 1,0 3a) (1,5 điểm) 1 1 AB.BM  CD.CM  a.BM  a.CM 2 2 1  a( BM  CM )  a 2 S ABM S DCM  không đổi S ABM DCM 3b) (2,0 điểm) Với hai số thực x , y ta có 2( x2  y )  ( x  y)2  ( x  y)2  ( x  y)2 Vậy S  x  y  ( x  y)2 Đẳng thức xảy S ABM 0,25 a  SDCM  BM  CM  M trung điểm BC 0,5 0,5 a Khi M trung điểm BC (1,0 điểm) Ta có P  x  x  x   = ( x2  1)2  x2   10 49 49  ( x2   )2   4 49 10 Vậy Min P =  x   Đẳng thức xảy x     x   0,25 0,25 0,25 10 2 (1,5 điểm)  a c a b  a b c  VT        2   a b a c   bc a c a b  a c a b Áp dụng bđt cơsi ta có:  2 a b a c a b c 1      (a  b  c)      (a  b  c) 3  bc ac ab 2.(a  b  c) bc ac ab  0,25 0,25 2  SCDM  ( S ABM  S DCM )2  Áp dụng ta có S ABM Câu (2,5điểm) 0,25 0,25 Dấu xảy x = y 2 Vậy ( S ABM  SCDM ) 1,0 a  3c a  3b 2a      Đẳng thức xảy a = b = c ab ac bc 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 Lưu ý chấm bài: - - Trên sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng Với 4, học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình khơng chấm