Tia AM cắt đường thẳng CD tại N.. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM.. a Chứng minh: ∆OEM vuông cân.. Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.
Trang 1PHÒNG GD&ĐT NGHĨA ĐÀN ĐỀ THI OLYMPIC CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi: Toán 8
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (5,0 điểm)
Cho biểu thức 2 2 : 1 1 22 2
P
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P
b) Tìm x để 1
2
P
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x > 1
Câu 2 (6 điểm)
a) Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x 2 dư 10, f(x) chia cho x 2dư 22, f(x) chia cho 2
4
x được thương là 5x và còn dư
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì a35a chia hết cho 6
c) Giải phương trình nghiệm nguyên: 2
2012 2013 2014 0
x xy x y
Câu 3 (3,0 điểm)
a) Cho a b c 0 và abc 0, t nh giá trị của biểu thức:
P 2 12 2 2 12 2 2 12 2
a) Cho 2 số a và b thỏa mãn a1; b1 Chứng minh :
ab b
a
2 1
1 1
1
2 2
Câu 4: (6,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C) Tia AM cắt đường thẳng CD tại N Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho
BE = CM
a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân
b) Chứng minh: ME // BN
c) Từ C kẻ CH BN ( H BN) Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng
-HẾT -
Họ và tên th sinh:………SBD:…………
(Cán bộ coi thi không giải th ch gì thêm)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM THI OLYMPIC
Môn thi: Toán 8 Năm học: 2013 – 2014
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
a
2
đ
ĐKXĐ :
0 1 1
x x x
Không có đk x-1 trừ 0,25đ
0,5đ
2 2
: ( 1) ( 1) ( 1) 1
P
x
2
:
( 1) 1
P
x x x
2
:
P
b
2
đ
2
P
2 1
x P x
2
2x x 1
2
2x x 1 0
2
2x 2x x 1 0
2x 1x 1 0
1 2
x
(TM ĐKXĐ) Hoặc x = - 1 ( không TM ĐKXĐ) (Nếu không loại x = - 1 trừ 0,25 điểm )
0,5đ
2
P
2
x
c
1
đ
1
x x
x x
Vì x > 1 nên x 1 0 và 1
1
x > 0 Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2
số dương x – 1 và 1
1
x ta có: 1 1
0,25đ
Dấu “ = “ xẩy ra khi x – 1 = 1
1
x
( x – 1)2
= 1
x – 1 = 1 ( vì x – 1 > 0 )
x = 2 ( TM )
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 khi x = 2
0,25đ
Trang 32
đ
Giả sử f(x) chia cho 2
4
x được thương là 5x và còn dư là ax b Khi đó: 2
f ( )x (x 4).( 5 ) ax+b x
0.5đ
Theo đề bài, ta có:
0.5đ
f ( )x (x 4).( 5 ) 3x+16 x 0.5đ Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: 3
f ( )x 5x 23x 16. 0.5đ
b
2
đ
* (a-1)a(a+1) là t ch của 3 số nguyên liên tiếp nên tồn tại 1 bội của 2
* (a-1)a(a+1) là t ch của 3 số nguyên liên tiếp nên tồn tại 1 bội của 3
Vì (2;3) = 1 nên (a-1)a(a+1) chia hết cho 6 0,25đ
* 6a chia hết cho 6 Vậy a3
c 2
đ
2 2
2012 2013 2014 0
2013 2013 2013 1
( 1) 2013( 1) 1 ( 2013)( 1) 1
2013 1
1 1
2013 1
x
x y x
x y
2014 2014 2012 2014
x y x y
0,25đ
a
P
2bc 2ac 2ab
2
a b c abc
b
ab b
a
2 1
1 1
1
2
1 1
1 1
1 1
1
2
=
) 1 )(
1 ( ) 1 )(
1
2 2
2
ab b
b ab ab
a
a ab
0,25đ
=
) 1 )(
1 )(
1 (
) 1 )(
( ) 1 )(
(
2 2
2 2
ab b
a
a b a b b a b a
=
) 1 )(
1 )(
1 (
) )(
(
2 2
2 2
ab b
a
b a b ab a a b
Trang 4=
) 1 )(
1 )(
1 (
) 1 ( ) (
2 2
2
ab b
a
ab a b
0,5đ
Do a1; b1 nên
) 1 )(
1 )(
1 (
) 1 ( ) (
2 2
2
ab b
a
ab a b
0
ab b
a
2 1
1 1
1
2
ab b
a
2 1
1 1
1
2
2
0,25
a
3
đ
Vì ABCD là hình vuông nên ta có OB = OC 0,5đ
1 1 45
Lại có O2O3 0
90
BOC vì tứ giác ABCD là hình vuông 0,25đ
2 1
O O 0
90
EOM kết hợp với OE = OM ∆OEM vuông cân tại O 0,5đ
b 2
đ
Từ (gt) tứ giác ABCD là hình vuông AB = CD và AB // CD 0,5đ
+ AB // CD AB // CN AM BM
MN MC ( Theo ĐL Ta- lét) (*) 0,5đ
Mà BE = CM (gt) và AB = CD AE = BM thay vào (*) 0,5đ
Ta có : AM AE
MN EB ME // BN ( theo ĐL đảo của đl Ta-lét) 0,5đ
c 1
đ
Gọi H’ là giao điểm của OM và BN
Từ ME // BN OMEOH E' ( cặp góc so le trong)
45
OME vì ∆OEM vuông cân tại O
0 1 ' 45
∆OMC ∆BMH’ (g.g)
0,25đ
'
,kết hợp OMBCMH'( hai góc đối đỉnh) 0,25đ
' 45
OBM MH C
BH CBH MMH C CH' BN
Mà CH BN ( H BN) H H’ hay 3 điểm O, M, H thẳng hàng 0,25đ
H' 1
1
3 2 1 E
N H
M O
D
C B A