110 đề HSG toán 8 nghĩa đàn 2013 2014

PHỊNG GD&ĐT NGHĨA ĐÀN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI OLYMPIC CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013 – 2014 Mơn thi: Tốn Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (5,0 điểm) Cho biểu thức P x2  x  x  1  x2  :     x2  x   x x 1 x2  x  a) Tìm điều kiện xác định rút gọn P b) Tìm x để P  1 c) Tìm giá trị nhỏ P x > Câu (6 điểm) a) Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x  dư 10, f(x) chia cho x  dư 22, f(x) chia cho x2  thương 5x dư b) Chứng minh với số nguyên a a  5a chia hết cho c) Giải phương trình nghiệm nguyên: x2  xy  2012x  2013 y  2014  Câu (3,0 điểm) a) Cho a  b  c  abc  , t nh giá trị biểu thức: 1  2  2 2 b c a a  c  b a  b2  c a) Cho số a b thỏa mãn a  1; b  Chứng minh : 1   2  ab 1 a 1 b P Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O M điểm thuộc cạnh BC (M khác B, C) Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE = CM a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân b) Chứng minh: ME // BN c) Từ C kẻ CH  BN ( H  BN) Chứng minh ba điểm O, M, H thẳng hàng HẾT Họ tên th sinh:…………………………………………………SBD:………… (Cán coi thi khơng giải th ch thêm) http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM THI OLYMPIC Môn thi: Toán Năm học: 2013 – 2014 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu Đáp án Ý x  ĐKXĐ :  x   x  1  a đ 0,5đ Khơng có đk x  -1 trừ 0,25đ P x  x  1  ( x  1)( x  1) x  x2  :     x( x  1) x( x  1)   x  1  x( x  1) 0,5đ P x  x  1 x   x   x : x( x  1)  x  1 0,5đ P x  x  1  x  1 : x  x  1 x( x  1) x 1 x2    x( x  1)  x  12 x 1 x 1 1 x2 1 với   P x 1 2  x2   x   x2  x 1   x2  x  x 1  P Câu 1( điểm) b đ x  ĐKXĐ   x  1 x  1  x (TM ĐKXĐ) Hoặc x = - ( không TM ĐKXĐ) (Nếu không loại x = - trừ 0,25 điểm ) Vậy P  1 x 2 x2 x    x  1 x  1  1    x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 P  x 1  x 1 2 x 1 x 1 Vì x > nên x 1  > Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho x 1 1   x  1  2 số dương x – ta có: x   x 1 x 1 x 1 Dấu “ = “ xẩy x – = x 1 P c đ Điểm     ( x – 1)2 = x – = ( x – > ) x = ( TM ) Vậy giá trị nhỏ P x = http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ a Giả sử f(x) chia cho x2  thương 5x dư ax  b Khi đó: f ( x)  ( x2  4).(5x)  ax+b đ Theo đề bài, ta có:  f (2)  22 2a  b  22 a      f (2)  10 2a  b  10 b  16 Câu 2( điểm) Do đó: f ( x)  ( x2  4).(5x)  3x+16 Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: f ( x)  5x3  23x  16 a3 + a = a3 – a + 6a = a(a2 – 1) + 6a b = (a-1)a(a+1)+ 6a * (a-1)a(a+1) t ch số nguyên liên tiếp nên tồn bội đ suy chia hết cho * (a-1)a(a+1) t ch số nguyên liên tiếp nên tồn bội suy chia hết cho Vì (2;3) = nên (a-1)a(a+1) chia hết cho * 6a chia hết cho Vậy a3 + a chia hết cho 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ x  xy  2012 x  2013 y  2014  c đ  x  xy  x  2013x  2013 y  2013   x( x  y  1)  2013( x  y  1)   ( x  2013)( x  y  1)    x  2013   x  y 1     x  2013  1    x  y   1   x  2014   y  2014    x  2012    y  2014 điểm) P a Câu 3(3,0 = b = 1,0đ 0,25đ 0,25đ 1  2 2 2 b  c  a a  c  b a  b2  c 2 1  2  2 2 b  c  (b  c) a  c  (a  c) a  b  (a  b)2 1    2bc 2ac 2ab abc  0 2abc 1 1   1  =        2 2  ab   a  ab    b  ab  1 a 1 b  0,5đ 2 ab  a ab  b  (1  a )(1  ab) (1  b )(1  ab) a(b  a)(1  b )  b(a  b)(1  a ) (b  a)(a  ab  b  a b) = (1  a )(1  b )(1  ab) (1  a )(1  b )(1  ab) http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ (b  a) (ab  1) = (1  a )(1  b )(1  ab) 0,5đ (b  a) (ab  1) Do a  1; b  nên 0 (1  a )(1  b )(1  ab) 1 1  0      2 2  ab  ab 1 a 1 b 1 a 1 b 0,25 E A B Hình vẽ 0,5đ O M H' H D C N Câu 4( điểm) Xét ∆OEB ∆OMC Vì ABCD hình vng nên ta có OB = OC a Và B1  C1  450 BE = CM ( gt ) đ Suy ∆OEB = ∆OMC ( c g.c)  OE = OM O1  O3 b đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ Lại có O2  O3  BOC  900 tứ giác ABCD hình vng 0,25đ O2  O1  EOM  900 kết hợp với OE = OM  ∆OEM vuông cân O 0,5đ Từ (gt) tứ giác ABCD hình vng  AB = CD AB // CD 0,5đ 0,5đ AM BM ( Theo ĐL Ta- lét) (*)  MN MC Mà BE = CM (gt) AB = CD  AE = BM thay vào (*) AM AE  ME // BN ( theo ĐL đảo đl Ta-lét) Ta có :  MN EB + AB // CD  AB // CN  Gọi H’ giao điểm OM BN Từ ME // BN  OME  OH ' E ( cặp góc so le trong) Mà OME  450 ∆OEM vuông cân O  MH ' B  450  C1 c đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ  ∆OMC ∆BMH’ (g.g) OM MH ' ,kết hợp OMB  CMH ' ( hai góc đối đỉnh)   OB MC  ∆OMB ∆CMH’ (c.g.c)  OBM  MH ' C  450 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Vậy BH ' C  BH ' M  MH ' C  900  CH '  BN Mà CH  BN ( H  BN)  H  H’ hay điểm O, M, H thẳng hàng 0,25đ http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ...HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM THI OLYMPIC Môn thi: Toán Năm học: 2013 – 2014 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu Đáp án Ý x  ĐKXĐ