PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ VINH ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ DỰ THI CẤP TỈNH CÁC MƠN VĂN HĨA LỚP NĂM HỌC: 2016-2017 Mơn: Tốn – Lớp Thời gian làm bài: 150 phút (không kể giao đê) Ngày thi: 26 tháng 11 năm 2016 Bài (4,0 điểm) 1) Cho a+b+c=0 a,b,c khác Rút gọn biểu thức: A ab bc ca 2 2 2 2 a b c b c a c a b2 2) Tính giá trị biểu thức: P x3 x 5x x 2x 7x 3 x Bài (4,0 điểm) x xy y2 1) Giải hệ phương trình x y xy 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: 2x 5y 1 x x2 x y 105 Bài (4,0 điểm) 1) Chứng minh không tồn số nguyên n thỏa mãn 20142014 1 chia hết cho n3 2012n 2) Cho x, y số nguyên thỏa mãn 2x2 x 3y2 y Chứng minh x – y ; 2x +2y+1 3x +3y+1 số phương Bài (6,0 điểm) Cho đường tròn (O;R) đường thẳng d khơng có điểm chung với đường tròn Trên d lấy điểm M bất kỳ, qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB với đườn tròn (A, B tiếp điểm) Kẻ đường kính AOC, tiếp tuyến (O) C cắt AB E a) Chứng minh tam giác BCM đồng dạng với tam giác BEO b) Chứng minh CM vng góc với OE c) Tìm giá trị nhỏ dây AB diện tích tứ giác MAOB Bài (2,0 điểm) a b c Giả sử a, b, c số thực thỏa mãn a, b, c a b c Chứng minh a b c6 abc a b c3 ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI VINH NĂM 2016-2017 Câu 1) Từ a b c a b c Bình phương hai vế ta a2 b2 2ab c2 nên a2 b2 c2 2ab Tương tự : b2 c2 a2 2bc c2 a2 b2 2ac ab bc ca 1 2ab 2bc 2ca 2 2 Vậy A 2) Ta có x Do A Suy x x 2x3 x 1 hay x3 3x2 3x Do P 3x 3x x 5x 3x 3x 2x 7x x 1 x 2 x 1 x2 4x 8x x 4x x 1 x2 2x 2 x2 (vì x 2) Vậy P x Câu 2 x xy y2 x y 3xy 1) Ta có : x y xy x y xy Đặt a = x – y , b = xy (1) a 3b a b Hệ phương trình trở thành a a 6 b 2 b 11 Giải hệ phương trình ta Với a = , b = - thay vào (1) ta x y x x xy 2 y 2 y 1 Với a = - , b = -11 thay vào (1) ta x y 6 x y 6 Hệ phương trình vơ nghiệm xy 11 y 6y 11 x x Vậy hệ phương trình có nghiệm y 2 y 1 2) 2x 5y 1 x x2 x y 105 Vì 105 số lẻ nên 2x 5y x x2 x y phải số lẻ Từ 2x+5y+1 số lẻ mà 2x+1 số lẻ nên 5y số chẵn suy y chẵn x x2 x y số lẻ mà x2 x x(x 1) tích hai số nguyên liên tiếp nên số chẵn, y chẵn nên x số lẻ Điều xảy x=0 Thay x=0 vào phương trình cho ta được: 5y 1 y 1 105 5y2 6y 104 5y2 20y 26y 104 5y(y 4) 26(y 4) (5y 26)(y 4) 26 (loại) y (thỏa mãn) y Vậy phương trình có nghiệm nguyên (x;y)=(0;4) Câu 1) Giả sử tồn số nguyên n thỏa mãn 20142014 1 chia hết cho n3 2012n Ta có n3 2012n n3 n 2013n n(n 1)(n 1) 2013n Vì n – , n n+1 ba số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho Suy n n 1 n 1 mà 2013 nên n3 2012n 3(1) Mặt khác 20142014 2013 1 chia cho dư 2013 (2) Từ (1) (2) dẫn đến điều giả sử vô lý, tức khơng có số ngun thỏa mãn điều kiện toán cho 2) Từ: 2x2 x 3y2 y (1) 2x2 2y2 x y y2 (x y)(2x 2y 1) y2 (2) 2 2 Mặt khác từ (1) ta có: 3x 3y x y x (x y)(3x 3y 1) x 2014 (x y)2 (2x 2y 1)(3x 3y 1) x2 y2 (2x 2y 1)(3x 3y 1) số phương (3) Gọi 2x 2y 1;3x 3y 1 d (2x 2y 1) d; (3x 3y 1) d 3x 3y 1 2x 2y 1 x y d 2(x y) d (2x 2y 1) 2(x y) d nên d = 2x 2y 1;3x 3y 1 (4) Từ (3) (4) 2x 2y 3x+3y+1 số phương Lại có từ (2) suy x y 2x 2y 1 số phương nên x – y số phương Vậy 2y2 x 3y2 y x y;2x 2y 3x+3y+1 số phương Câu A O Q P N C BI E M H d a) Gọi Q giao điểm AB với OM Ta có AM // CE (cùng vng góc với AC) Suy BEC MAB (so le trong) Mà ABC 900 ;AQM 900 AMO OMB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) AMO OMB BCE (cùn phụ với hai góc nhau) BE OB MB OB (1) BC MB BC BE Lại có MBA OBC (cùng phụ với ABO) tan BCE tan OMB Nên MBC OBE (cùng = 900 OBC ) (2) Từ (1) (2) suy MBC OBE(c.g.c) b) Từ MBC OBE BCM BEO Gọi I N giao điểm OE với BC MC BIE NIC (g.g) IBE INC mà IBE 900 Nên INC 900 Vậy CM OE c) Gọi H hình chiếu vng góc O d P giao điểm AB với OH Ta có OQP OHM (g.g) OQ OP OH OM QO.OM OP.OH OA2 R2 OP R2 OH Mà O d cố định OH không đổi nên OP không đổi Lại có AB 2AQ OA2 OQ2 mà OQ OP R4 2R AB OA OP R OH R2 OH OH Dấu “=” xảy Q P M H 2R Vậy GTNN AB OH2 R2 M H OH *) Vì MO AB nên S AOBM AB.OM AQ.OM Vẽ dây cung A1B1 vng góc với OH P, P (O) cố định nên A1B1 2 khơng đổi Vì OP OQ AB A1B1 (liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây) Dấu “=” xảy M H Vậy GTNN S AOBM A1B1.OH M H Mà OM OH S AOBM A1B1.OH (không đổi) Câu * a b c a b c a b c3 a b c3 3ab(a b) 3abc 1 * ab bc ca a b c b c *a b6 c6 a 3 a 3b3 b3c3 c3a *ab bc ca a 3b3 b3c3 c3a 3a b2 c2 Do *a6 b6 c6 3abc 2.3a b2c2 3a b2c2 Vậy a b6 c6 3a b2c2 abc a b c3 3abc ...ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI VINH NĂM 2016- 2017 Câu 1) Từ a b c a b c Bình phương hai vế ta a2 b2 2ab c2... MBC OBE (cùng = 90 0 OBC ) (2) Từ (1) (2) suy MBC OBE(c.g.c) b) Từ MBC OBE BCM BEO Gọi I N giao điểm OE với BC MC BIE NIC (g.g) IBE INC mà IBE 90 0 Nên INC 90 0 Vậy CM OE c)... giao điểm AB với OM Ta có AM // CE (cùng vng góc với AC) Suy BEC MAB (so le trong) Mà ABC 90 0 ;AQM 90 0 AMO OMB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) AMO OMB BCE (cùn phụ với hai góc nhau)