ĐỀ ĐỀ XUẤT ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2013-2014 MƠN: TỐN (Dành cho trường chun Vĩnh Phúc) Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian phát đề Câu (3,0 điểm) xy y y xy y a) Giải hệ phương trình: xy y y y b) Cho đa thức với hệ số thực P x x ax bx cx d thoả mãn P 1 3, P 3 11, P 27 Tính P P Câu (1,5 điểm) Tìm tất cặp số nguyên dương x; y thoả mãn phương trình: x 2 y 28 17 x y 14 y 49 Câu (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC không cân nội tiếp đường trịn (O), có đường cao AH tâm đường trịn nội tiếp I Đường thẳng AI cắt lại đường tròn (O) điểm thứ hai M Gọi A' điểm đối xứng với A qua O Đường thẳng MA' cắt đường thẳng AH, BC theo thứ tự N K 1) Chứng minh tứ giác NHIK nội tiếp đường tròn 2) Đường thẳng A'I cắt lại đường tròn (O) điểm thứ hai D, hai đường thẳng AD BC cắt điểm S Chứng minh AB AC 2 BC I trọng tâm tam giác AKS Câu (1,5 điểm) Cho số thực a, b, c, d thoả mãn 4a b 2 c d 4 Tìm giá trị lớn biểu thức P 2ac bd cd Câu (1,0 điểm) Cho tập hợp M gồm 2014 số dương a1 , a2 , , a2014 Xét tất tập khác rỗng Ti M, gọi si tổng số thuộc tập Ti Chứng minh chia tập hợp tất số si thành lập thành 2014 tập khác rỗng không giao nhau, cho tỉ số hai số thuộc tập tập vừa phân chia không vượt Hết Giám thị coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh…………………………………………….Số báo danh…………………… ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN MƠN TỐN HSG 10 - CHUN Câu (3,0 điểm) Ý y 0, xy 0, xy y 0 Nội dung trình bày Điểm y 0 khơng thoả mãn hệ y 0 chia hai vế phương trình thư hệ cho y 0.25 chia hai vê phương trình thứ hai hệ cho a (1,5điểm) y ta 7 x y xy x y xy y y x xy 5 x y x y xy 21 25 y y y 0.50 a x y y Đặt b xy 0.25 a b Hệ có dạng 0.25 3 a; b 11;3 x; y 1;1 , ; 8 0.25 a a b 16 25 Nhận xét f x x thoả mãn f 1 3, f 3 11, f 27 Xét đa thức Q x P x f x đa thức bậc có nghiệm x 1, x 3, x 5 b Nên Q x x 1 x 3 x x m (1,5điểm) Ta có P Q f 216 105m, P Q f 128 15m Vậy P P 216 105m 128 15m 1112 0.50 0.25 0.25 0.25 0,25 Câu (1,5 điểm) Nội dung trình bày PT x y 17 x y Điểm 0.25 16 x 8x y y 0 x y 0 0.25 x y 0 x y x y 7 0.25 Do x, y nguyên dương nên x y 2 x y x y 0.25 x y 7 x; y 2;3 Vậy x y 1 0.25 Vậy phương trình có nghiệm x; y 2;3 0.25 Câu (3,0 điểm) Nội dung trình bày Điểm 1) (1,5 điểm) A I B O L H K C A' M N 900 AOC 900 ABC BAH Ta có OAC mà AI phân giác góc A nên HAI , suy OAI 0,25 tam giác ANA' cân A Gọi L giao điểm MA BC Ta có HKN 900 HNK HAM LAA ' , suy tứ giác ALA'K nội tiếp 0,5 Do MA '.MK ML.MA (1) Dễ thấy hai tam giác MCL MAC đồng dạng, suy ML.MA MC (2) 0,25 Do I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên MI MC (3) 0,25 Từ (1), (2), (3) suy MN MK MI NIK 900 Vậy tứ giác NHIK nội tiếp 0,25 A D T l S B H O L C A' M N K 2) (1,5 điểm) ' M IAD * Từ tứ giác NHIK nội tiếp suy IHK Suy tứ giác AIHS nội tiếp Do INK IA AIS IHS 900 0,25 TAI INK Gọi T trung điểm cạnh SA Khi TIA , suy ba điểm T , I , K thẳng MIK hàng (4) 0,25 * Tiếp theo ta chứng minh L trung điểm SK Ta có AI AB BL AB BL AB AB BL AB IL BL LC AC BC AB AC 2BC Do AI 2 (5) IL 0,50 Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ASL với cát tuyến TIK ta có: TA KS IL 1 (6) Từ (5) (6) suy KS 2 KL , tức L trung điểm SK (7) TS KL IA 0,50 Từ (4) (7) suy I trọng tâm tam giác AKS (đpcm) Câu (1,5 điểm) Nội dung trình bày Ta có 2ac 4a bd b Điểm c 1 0.25 d2 2 cd cd 0.25 cd 3 0.25 Cộng vế 1 , , 3 ta có 2 3 c d c d cd c d P 2ac bd cd 4a b 4a b 8 4 8 0.25 1 P 8 a; b; c; d ;1; 2; Vậy giá trị lớp cảu P 2 0,25 Câu (1,0 điểm) Nội dung trình bày Đặt n 2014 Giả sử phần tử M thoả mãn a1 a2 an Đặt S0 0, Sm a1 a2 am m n Điểm 0.25 Gọi P tập tất số si xác định đề Kí hiệu Pm s P | Sm s Sm với m 1, 2,3, , n Ta chứng minh cách chia P thành tập Pm thoả mãn điều kiện toán Muốn ta cần chứng minh b Pm S m 2b 0.25 h Thật b S m a1 a2 am b aik nên phai tồn ik để ik m 0.25 Vậy b aik am S m S m S m b 2b Sm 0.25 k 1 -Hết -