PHỊNG GD HẢI LĂNG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN LỚP NĂM HỌC :2016-2017 Mơn thi: Tốn Câu (2 điểm) Cho a>b>0 thỏa mãn 3a + 3b = 10ab P= Tính giá trị biểu thức a −b a+b Câu (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức: A = 12 − 22 + 32 − 42 + + 999 − 10002 Câu (1,5 điểm) Cho hai số nguyên, số thứ chia cho dư 1, số thứ hai chia cho dư Hỏi tổng bình phương chúng có chia hết cho không ? Câu (1,5 điểm) Chứng minh với số tự nhiên n phân số 21n + 14n + phân số tối giản Câu (1,5 điểm) P = x − 2006 + x − 2007 + 2006 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : Câu (2 điểm) ABCD AB / / CD ) AB < CD A B Cho hình thang ( có Qua kẻ đường thẳng AK song song với BC AD cắt CD K I Gọi E giao điểm BI BD, F giao điểm AC Chứng minh rằng: a) EF / / AB b) AB = CD.EF ĐÁP ÁN Câu a − b) ( a − 2ab + b2 3a + 3b − 6ab 4ab = = = = = ( a + b ) a + 2ab + b2 3a + 3b2 + 6ab 16ab P Xét a >b>0⇒ P >0⇒ P = Vì Câu Ta có: A = ( 12 − 22 ) + ( 32 − 42 ) + + ( 999 − 10002 ) = ( − ) ( + ) + ( − ) ( + ) + + ( 999 − 1000 ) ( 999 + 1000 ) = − ( + + + + + 999 + 1000 ) = −500.1001 = −500500 Câu Vì số thứ chia cho dư nên có dạng 5b + a, b ∈ ¢ ) có dạng ( 5a + , số thứ hai chia cho dư nên Ta có tổng bình phương hai số là: ( 5a + 1) + ( 5b + 1) = 25a + 10a + + 25b2 + 10b + = ( 5a + 5b + 2a + 2b + 1) M Vậy tổng bình phương hai số chia hết cho Câu Gọi d = UCLN ( 21n + 4;14n + 3) với d ∈¥,d ≥1 Ta có: Khi Hay 21n + 4Md 14n + 3M d ( 21n + ) Md 42n + 8Md và 42n + 9Md ⇒ ( 42n + − 42n − ) Md Vậy phân số ( 14n + 3) Md 21n + 14n + hay 1M d ⇒ d =1 phân số tối giản với số tự nhiên n Câu Ta có : P = x − 2006 + x − 2007 + 2006 = x − 2006 + 2007 − x + 2006 ≥ ( x − 2006 ) + ( 2007 − x ) + 2006 = 2007 Vậy P = 2007 ⇔ 2006 ≤ x ≤ 2007 Câu a) Ta có: AB//CD nên theo hệ Ta let ta có: AF AB AE AB = (1) = (2) FC IC EK DK Mặt khác ta có: AB / / CD, BC / / AK ) Tứ giác ABCK hình bình hành (do nên AB = CK (3) AB / /CD, BI / / AD ) AB = DI (4) ABID Tứ giác hình bình hành (do nên CK = DI ⇒ IC = DK ( 5) Từ (3) (4) suy AF AE = ⇒ EF / / DC ⇒ EF / / AB FC EK Từ (1) (2) (5) suy b) Ta có: AB // CD AB AF ⇒ = (*) AB + CI = DI + CI = CD) CI CF AB = DI (Do nên ∆AEF : ∆AKC ( EF / / KC ) Mặt khác AF EF AF EF ⇒ = KC = AB ⇒ = ( **) AC KC AC AB mà AB EF = CD AB AB = EF CD Từ (*) (**) suy hay (đpcm)