PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CÁI RĂNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Mơn: TỐN Năm học : 2016-2017 Bài (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1.x x 2.x 2008 x 2007 x 2008 Bài (2 điểm) Giải phương trình: 1) x x x 2 1 1 2)8 x x x x x x x x x Bài (2 điểm) CMR với a, b, c số dương, ta có: a b c 1 1 a b c Tìm số dư phép chia biểu thức x x x x 2008 cho đa thức x 10 x 21 Bài (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông A AC AB , đường cao AH H BC Trên tia HC lấy điểm D cho HD HA Đường vng góc với BC D cắt AC E 1) Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m AB 2) Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo ·AHM GB HD 3) Tia AM cắt BC G Chứng minh BC AH HC ĐÁP ÁN Bài 1) x2 x x2 x x x x 1 x 1 x x 1 2) x 2008 x 2007 x 2008 x x 2007 x 2007 x 2007 x x 207 x x 1 x 1 x 2007 x x 1 x x 1 x x 1 2007 x x 1 x x 1 x x 2008 Bài 2 2.1 x x x 1 Nếu x 1: 1 x 1 x (thỏa mãn điều kiện x 1) x 1: 1 x x x x x 1 x (ktm) x 1 x 3 x (ktm) Nếu Vậy phương trình 1 có nghiệm x 2.2 2 1 1 x x x x x (2) x x x x Điều kiện để phương trình có nghiệm: x 2 1 1 x x x x x x x x x 1 2 x x x x 16 x x x 0(ktm) x 8(tm) Vậy phương trình cho có nghiệm x 8 Bài 3.1 Ta có: a a b b c c 1 1 A a b c b c a c a b a b c a b a c c b b a c a b c x y 2 y x Mà (BĐT Cơ si) Do đó: A Vậy A 3.2 Ta có: P ( x) x x x x 2008 x 10 x 16 x 10 x 24 2008 Đặt t x 10 x 21 t 3; t 7 , Biểu thức P( x) viết lại P ( x ) t t 3 2008 t 2t 1993 Do chia t 2t 1993 cho t ta có số dư 1993 Bài µ 1) Hai tam giác ADC BEC có: C chung; CD CA CE CB (hai tam giác vng CDE CAB đồng dạng) Do ADC : BEC · · Suy BEC ADC 135 (vì tam giác AHD vng cân H theo giả thiết) · Nên AEB 45 , ABE vng cân A Suy : BE AB m BM BE AD BEC : ADC 2) Ta có BC BC AC Mà AD AH (tam giác AHD vuông cân H) BM AD AH BH BH AB BE (do ABH : CBA) Nên BC AC AC 0 · · · Do đó: BHM : BEC (c.g c) BHM BEC 135 AHM 45 · 3) Tam giác ABE vuông cân A, nên tia AM tia phân giác BAC GB AB AB ED , GC AC AC DC Suy : mà AH HD ABC : DEC ED / / AH HC HC GB HD GB HD GB HD GB GC HD HC BC AH HC Do đó: GC HC