113 đề hsg toán 8 lạng giang 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG GIANG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (5,0 điểm) 1) Chứng minh rằng nếu một tam giác có độ dài ba cạnh là thỏa mãn thì tam giác đó là tam giác vuôn[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG GIANG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN NĂM HỌC 2022-2023 Bài (5,0 điểm) 1) Chứng minh tam giác có độ dài ba cạnh a, b, c thỏa mãn  5a  3b  4c   5a  3b  4c   3a  5b  tam giác tam giác vng 2) Tìm giá trị tham số m để phương trình x  5m  10  3mx có nghiệm gấp lần nghiệm phương trình x  x  13 x  15 0 Bài (5,0 điểm) P x  x  x 1 x    x2  x  x   x với x 1; x  1) Cho biểu thức P với a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm tất giá trị nguyên x để P có giá trị số nguyên tố x  y  z  3xy  z  x , y , z 2) Cho thỏa mãn x  y  z 3 Tính giá trị biểu thức A 673  x 2021  y 2021  z 2021   Bài (4,0 điểm) 1) Cho số tự nhiên a; b Chứng minh tích a.b số chẵn ln ln tìm 2 số ngun c cho a  b  c số phương 2 2) Cho số nguyên tố p  hai số nguyên dương a, b cho p  a b Chứng minh a chia hết cho 12 Bài (5,0 điểm) Cho ABC có ba góc nhọn Gọi H giao điểm hai đường cao AD, BE Gọi M, N thứ tự trung điểm BC , AC Gọi O giao điểm đường trung trực BC AC a) Chứng minh OM AB  AH NM b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh HO 3GO Bài (1,0 điểm) Cho a, b, c, d số thực dương Tìm giá trị nhỏ A a c b d c  a d b    a b b c c d d a ĐÁP ÁN Bài (5,0 điểm) 3) Chứng minh tam giác có độ dài ba cạnh a, b, c thỏa mãn  5a  3b  4c   5a  3b  4c   3a  5b  tam giác tam giác vng Ta có :  5a  3b  4c   5a  3b  4c   3a  5b   * 2   5a  3b    4c  9a  30ab  25b  25a  30ab  9b  16c 9a  30ab  25b  a b  c Vậy tam giác có độ dài ba cạnh thỏa mãn điều kiện (*) tam giác tam giác vng 4) Tìm giá trị tham số m để phương trình x  5m  10  3mx có nghiệm gấp 3 lần nghiệm phương trình x  x  13 x  15 0 Ta có : x  x  13 x  15 0  1  x  x  x  10 x  x  15 0   x    x  x  3 0  x 5 (do x  x   0) Vậy để phương trình x  5m  10  3mx có nghiệm gấp lần nghiệm phương trình (1) Thì x 3.5 15 nghiệm phương trình x  5m  10  3mx Tức : 6.15  5m  10  3m.15  90  5m  10  45m  50m 100  m 2 Vậy m 2 giá trị cần tìm Bài (5,0 điểm) P 3) Cho biểu thức P với c) Rút gọn biểu thức P 3x  x  x 1 x    x2  x  x   x với x 1; x  3x  x  x  x    x2  x  x  1 x 3x  x    x  1  x  1   x    x     x  1  x   P  3x  x   x   x  x  x2  5x  ( x  1)( x  6) x     ( x  1)( x  2) ( x  1)( x  2) ( x  1)( x  2) x  Vậy P x 6 x  với x 1; x  d) Tìm tất giá trị nguyên x để P có giá trị số nguyên tố Ta có P x 6 1  , x2 x  để giá trị biểu thức P số nguyên tố P số  Z  x   U (4)  1; 2; 4 nguyên tức x  Do ta có : x    P 5 số nguyên tố (thỏa mãn) x    x   P  không số nguyên tố (loại) x  4  x 2 P=2 số nguyên tố (thỏa mãn) x    x   P 0 không số nguyên tố (loại) Vậy x    1;0; 2 giá trị biểu thức P số nguyên tố x  y  z  3xy  z  4) Cho x, y, z thỏa mãn x  y  z 3 Tính giá trị biểu thức A 673  x 2021  y 2021  z 2021   x  y  z  xy  z   x3  y  z  3xyz  x  y   xy  x  y   3zxy  z 0   x  y  z    x  y   z  z  x  y   3xy  0   x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx  0   2   x  y  z    x  y    y  z    z  x   0   2 Vì 2 x  y  z 3 0  1   x  y    y  z    z  x  0   Từ (1) (2) suy x  y  z 1 Vậy A 673  x 2021  y 2021  z 2021   673    1  2019  2021 Bài (4,0 điểm) 3) Cho số tự nhiên a; b Chứng minh tích a.b số chẵn ln ln 2 tìm số ngun c cho a  b  c số phương Vì a, b số chẵn nên xảy trường hợp sau : 2 Th1: a, b số chẵn  a  b 4 2 Do a,b thuộc N nên a  b 4k , k  N  k  1 N Nếu chọn Thì c  k  1 k  2k  1 k  N  a  b  c k  2k   k  1 số phương a  b  c  k  1 Vì k  N  k   Z  ln tìm số k   Z cho số phương 2 Th2: a chẵn b lẻ  a 4, b : dư 1, với a,b thuộc N 2 2 Nếu a  b : dư 1, với a,b thuộc N a  b 4k  với k  N  c 2k  N , k  N 2 2 2  c  2k  Z , k  N  c 4k  a  b  c 4k  4k   2k  1 Nếu chọn  số 2 phương (vì 2k  1 N mà k  N ) Vậy tồn số nguyên c để a  b  c số phương Với a, b số chẵn a, b  N 2 4) Cho số nguyên tố p  hai số nguyên dương a, b cho p  a b Chứng minh a chia hết cho 12 Từ giá trị p  a b  b  a   b  a  Vì p số nguyên tố lớn nên có hai khả b  a q Th1:   b  a b  a  a 0 b  a q b  a 1 Th :  2  b  a q , b  a  b  a, a, b  Z nên 2a q   q  1  q  1 Vì q lẻ nên q  1; q  hai số chẵn liên tiếp , số bội 2, số bội  a 22 (1) Lại có từ  *  2qa  q  1 q  q  1 3 Mà (2,q)=1 ;  q, a  1 nên 2aq 3  a 3   ;  3, q  1 Từ (1) (2) suy a12 Vậy a12 với p, q, q số nguyên tố q  3, b  N *, a  N * Bài (5,0 điểm) Cho ABC có ba góc nhọn Gọi H giao điểm hai đường cao AD, BE Gọi M, N thứ tự trung điểm BC , AC Gọi O giao điểm đường trung trực BC AC A E N G H O C B D M c) Chứng minh OM AB  AH NM Ta có ABC , M trung điểm BC, N trung điểm AC  MN đường trung bình ABC  MN / / AB MNC BAC (đồng vị) (1) mà ABE  BAC 90   , ONM  MNC 90  3 , ,  ABE ONM Từ       Chứng minh tương tự ta có BAD OMN Xét AHB & MON : BAD OMN  cmt  , ABE ONM AH AB   AH MN OM AB OM MN d) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh HO 3GO  AHB ∽ MON ( g g )  Theo ý a, ta có AHB ∽ MON  AH AB AH AB  2    MN  AB OM MN mà nên OM MN AG 2 ABC   Lại có GM Vì G trọng tâm AH AG  Từ (4) (5) suy OM GM mà HAC GOM  AGH ∽ MGO(c.g c)  AGH MGO  HGA MGO  MGO  AGM 180 HG 2  OH 3OG  H , G, M thẳng hàng HO Bài (1,0 điểm) Cho a, b, c, d số thực dương Tìm giá trị nhỏ A a c b d c  a d b    a b b c c d d a     A  a  c      b d     a b c d   bc d a  Ta có  a  c  4 a b c d bd 4 4 a b c d a b c d a b c d a  b c  d Min A 4    a b c d b  c d  a Vậy ... 2a q   q  1  q  1 Vì q lẻ nên q  1; q  hai số chẵn liên tiếp , số bội 2, số bội  a ? ?22 (1) Lại có từ  *  2qa  q  1 q  q  1 3 Mà (2,q)=1 ;  q, a  1 nên 2aq 3  a 3 ... (4) (5) suy OM GM mà HAC GOM  AGH ∽ MGO(c.g c)  AGH MGO  HGA MGO  MGO  AGM  180  HG 2  OH 3OG  H , G, M thẳng hàng HO Bài (1,0 điểm) Cho a, b, c, d số thực dương Tìm giá