121 đề HSG toán 8 bắc giang 2012 2013

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012-2013 MƠN: TỐN LỚP Ngày thi: 30/3/2013 Câu (4,5 điểm) P = 2a + a 2b + ab + 2b3 1) Phân tích biểu thức sau thành nhân tử: Q = x6 + x5 + x4 + x3 + x + x + x + x = 2) Cho Tính giá trị biểu thức Câu (4,5 điểm) x +1  4026  x −1 R= + − ÷:  x − 2x x + 2x x − 4x  x x 1) Cho biểu thức Tìm để biểu thức xác định, rút gọn biểu thức x − ( x − 1) ( x + 1) ( x + ) = 2) Giải phương trình sau: Câu (4,0 điểm) n n3 − n 24 1) Cho số tự nhiên lẻ Chứng minh chia hết cho n n + 4n + 2013 2) Tìm số tự nhiên để số phương Câu (6,0 điểm) BC = a ABCD CD = AB = AD 1) Cho hình thang vng A D Biết ABCD a a) Tính diện tích hình thang theo BC , AC I D b) Gọi trung điểm H chân đường vng góc kẻ từ xuống · HDI = 450 Chứng minh BC = a, CA = b, AB = c ABC 2) Cho tam giác có Độ dài đường phân giác la , lb , lc A, B, C tam giác kẻ từ đỉnh Chứng minh rằng: 1 1 1 + + > + + la lb lc a b c Câu (1,0 điểm) Cho hai số không âm a b a + b2 = a + b thỏa mãn: a b S= + a +1 b +1 ĐÁP ÁN Câu 1) P = ( a + b3 ) + ab( a + b) Ta có: = ( a + b ) ( a − ab + b ) + ab ( a + b ) = ( a + b ) ( 2a + 2b + 5ab ) = ( a + b ) ( 2a + 4ab + 2b + ab ) = ( a + b )  2a ( a + 2b ) + b ( a + 2b )  = ( a + b ) ( 2a + b ) ( a + 2b ) P = ( a + b ) ( 2a + b ) ( a + 2b ) Kết luận 2) Ta có: Q = x ( x + x + x ) + ( x + x + x ) + x + x + x + = x2 ( x2 + x ) + ( x2 + x ) + x + 2 = x2 + x + = Q=4 Vậy Câu 1) Ta có:  x −1  x x +1 R= + −   x ( x − ) x ( x + ) x ( x − )  4026 Tính giá trị lớn biểu thức: x ≠ x ( x2 − 4) ≠ ⇔   x ≠ ±2 ĐK: Khi đó:  x −1 x +  R=  + − ÷ 4026  x − x + x −  = ( x − 1) ( x + ) + ( x + 1) ( x − ) − 4026 x2 − 2( x − 4) = = 4026 x − 2013 Vậy R x ≠   x ≠ ±2 R= 2013 xác định x ≥ 2, 2) +Nếu phương trình cho trở thành : ( x − ) ( x − 1) ( x + 1) ( x + ) = ⇔ ( x − 1) ( x − ) = ⇔ x − x = ⇔ x ( x − ) =  x = 0( ktm)  ⇔  x = 5(tm)  x = − 5(ktm)  x < 2, +)Nếu phương trình cho trở thành: ( − x ) ( x − 1) ( x + 1) ( x + ) = ⇔ ( x − ) ( x − 1) ( x + 1) ( x + ) = −4 ⇔ ( x − 1) ( x − ) = −4 ⇔ x4 − x2 + = 5  ⇔  x2 − ÷ + = 2  vô nghiệm x= Phương trình có nghiệm Câu n3 − n = n ( n − 1) ( n + 1) 1) Ta có: n − 1; n; n + Vì ba số tự nhiên liên tiếp nên có ba số chia hết cho 3 ( n − n ) M8 (2) Do ( 1) ; ( ) Vì hai số nguyên tố nên kết hợp với suy (n − n ) M24 ( dpcm ) n + 4n + 2013 = m2 ( m ∈ ¥ ) 2) Giả sử 2 ( n + ) + 2009 = m2 ⇔ m − ( n + ) = 2009 Suy ⇔ ( m + n + ) ( m − n − ) = 2009 2009 = 2009.1 = 287.7 = 49.41 Mặt khác sau: m + n + = 2009 m = 1005 TH 1:  ⇔ m − n − =  n = 1002 m + n + = 287 m = 147 TH :  ⇔ m − n − = n = 138 m + n + = 49 m = 45 TH 3:  ⇔ m − n − = 41  n = Vậy số cần tìm Câu 1002;138;2 m+n+2>m−n−2 nên có trường hợp 1) a) Gọi E trung điểm CD, cân AB = AD = a, BC = 2a Từ suy ABED hình vng BEC tam giác vuông AB + CD ) AD ( a + 2a ) a 3a ( S= = = ABCD 2 Diện tích hình thang ·ADH = ·ACD(1) b) (hai góc nhọn có cặp cạnh tương ứng vng góc) ADC IBD Xét hai tam giác vng D B có: AD IB = = , DC BC ADC IBD hai tam giác đồng dạng ·ACD = BDI · Suy (2) · ( 1) , ( ) ⇒ ·ADH = BDI Từ ·ADH + BDH · · · · = 450 ⇒ BDI + BDH = 450 HDI = 450 Mà hay 2) Gọi AD đường phân giác góc A, qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng AB M · BAD = ·AMC Ta có: (hai góc vị trí đồng vị) · DAC = ·ACM (hai góc vị trí so le trong) · · ·AMC = ·ACM BAD = DAC ∆ACM AM = AC = b Mà nên hay cân A, suy AD BA c = = CM BM b + c AD / / CM Do nên CM < AM + AC = 2b ⇒ Mà c AD 11 1 > ⇒ >  + ÷ b + c 2b la  b c  1 1 1 1 >  + ÷ (2); =  + ÷ (3) lb  c a  lc  a b  Tương tự ta có: ( 1) ; ( ) ; ( 3) Cộng vế theo vế ta có điều phải chứng minh Câu a + ≥ 2a; b + ≥ 2b ⇒ a + b + ≥ 2a + 2b ⇒ a + b ≤ Ta có: 1 + ≥ x, y x y x+ y Chứng minh với hai số dương   S = 2− + ≤1 ÷≤ − a +1+ b +1  a +1 b +1 Do đó: GTLN a = b =1 Vậy S 1, dạt (1)