118 đề HSG toán 8 việt yên 2012 2013

PHỊNG GD & ĐT VIỆT N ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề thi có 01 trang KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 MƠN THI: TỐN LỚP Ngày thi: 3/4/2013 Câu (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x  2013 x  2012 x  2013  x2  2x  2 x2 A      x  8  x  x  x   x x  Rút gọn biểu thức sau: Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau:  2x  x  2013  4. x  x  2012    x  x  2013   x  x  2012  2 3 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x  x  x   y Câu (4,0 điểm) Tìm đa thức f ( x) biết rằng: f ( x) chia cho x  dư 10, f ( x) chia cho x  2 dư 24, f ( x) chia cho x  thương 5x dư Chứng minh rằng: 2 a  b  c  b  c  a  c  a  b  a  b  c  b  a  c  a  c  b Câu (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE  AF Vẽ AH vng góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC hai điểm M, N 1) Chứng minh tứ giác AEMD hình chữ nhật 2) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh AC  EF 1   2 AM AN 3) Chứng minh : AD Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn abc  Chứng minh rằng: 1    a  b  c  b3  c  a  c  a  b  ĐÁP ÁN Câu 1.1 Ta có: x  2013 x  2012 x  2013   x  x   2013x  2013 x  2013  x  x  1  x  x  1  2013  x  x  1   x  x  1  x  x  2013 1.2 x   x2 Điều kiện:  Ta có:  x2  2x   2x2 A  1    x  8  x  x  x x x      x2  2x 2x2    2 x2  4   x   x2   x    x2  2x 2x2    2 x2  4  x2  4   x   x. x    x 2    x  2  x2  4 x  x    x  1 2x2  x2  4   x  1  x     x2   x  1  x   x2   x2  x    x2  x3  x  x  x x   x  x2   x 1 2x x  x 1  A x với  x  Vậy Câu a  x  x  2013  b  x  x  2012   2.1 Đặt Phương trình cho trở thành: a  4b  4ab   a  2b    a  2b   a  2b Khi ta có: x  x  2013  2. x  x  2012   x  x  2013  x  10 x  4024  11x  2011  x  2011 11 Vậy phương trình có nghiệm x 2011 11 3  y  x  x  x    x      x  y (1) 4  2.2 Ta có:  15   x    y  x  x    x      y  x  (2)  16  Từ     ta có: x  y  x  mà x, y nguyên suy y  x  3 Thay y  x  vào phương trình ban đầu giải phương trình tìm x  1  y  Vậy  x; y    1;0  Câu 3.1 Giả sử f ( x) chia cho x  thương 5x dư ax  b f ( x)   x    5 x   ax  b Khi : Theo đề bài, ta có:   f (2)  24 2a  b  24 a      f ( 2)  10 2a  b  10 b  17  f ( x)   x   (5 x)  x  17 Do : 47 f ( x)  5 x3  x  17 Vậy đa thức f ( x) cần tìm có dạng: 3.2 a  b  c   b  c  a2   c  a  b   a  b  c2   b  a  c   a  c  b2   Ta có: (1) xz  a   a  b  c  x  x y   b  c  a  y  b  a  c  b  z   yz  c  Đặt Khi ta có: xz x y yz yz xz x y 2 VT       y  x   x  y   x  y  z  2   2  xz xz yz z y 2  y  x   x  y  z 2 2 1 x  z  y   z  y  x   x  y  z  4 =4 1   x  y  z   x  y  z   VP (dfcm) 4 Câu · ·  ·ABF (cùng phụ với BAH ) 1) Ta có: DAM · AB  AD ( gt ); BAF  ·ADM  900 (ABCD hình vng)  ADM  BAF  g c.g   DM  AF , mà AF  AE ( gt ) nên AE  DM Lại có: AE / / DM (vì AB / / DC ) · Suy tứ giác AEMD hình bình hành Mặt khác DAE  90 ( gt ) Vậy tứ giác AEMD hình chữ nhật 2) Ta có ABH : FAH ( g g ) AB BH BC BH     AB  BC; AE  AF  AF AH hay AE AH · · · Lại có: HAB  HBC (cùng phụ với ABH )  CBH : AEH (c.g.c) 2 S SCBH  BC   BC   CBH   ,  4( gt )       BC   AE  S EAH  AE  mà S EAH  AE   BC  AE  E trung điểm AB, F trung điểm AD Do đó: BD  EF hay AC  EF (dfcm) 3) Do AD / /CN ( gt ) Áp dụng hệ định lý Ta let ta có: AD AM AD CN    CN MN AM MN Lại có: MC / / AB  gt  Áp dụng hệ định lý Ta let ta có:  MN MC AB MC AD MC     AN AB AN MN hay AN MN 2 2 2 MN  AD   AD   CN   CM  CN  CM   1        MN MN  AM   AN   MN   MN  ( Pytago) 2 1  AD   AD        1 AM AN AD  AM   AN  ( dfcm) Câu Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi a, b, c  ¡ x, y, z  ta có: a b2 c  a  b  c     x y z x yz a b c    x y z Dấu "  " xảy Thật vậy, với a, b  ¡ x, y  ta có: a b2  a  b    x y x y (*) (**)   a y  b x   x  y   xy (a  b)   bx  ay   (luôn đúng) a b   x y Dấu "  " xảy Áp dụng bất đẳng thức  ** ta có: 2 a2 b2 c2  a  b c2  a  b  c      x y z x y z x yz a b c    x y z Dấu "  " xảy 1 2 1 a b c2      a  b  c  b3 (c  a ) c (a  b) ab  ac bc  ab ac  bc Ta có: Áp dụng BĐT (*) ta có : 2 1 1 1 1 1         a  b2  c2   a b c    a b c  ab  ac bc  ab ac  bc  ab  bc  ac   1 1 2     a b c  (Vì abc  1) Hay 1 2 11 1 a  b  c      ab  ac bc  ab ac  bc  a b c  1 2 1 a  b  c    3 Mà a b c nên ab  ac bc  ab ac  bc Vậy 1    a  b  c b  c  a c  a  b (đpcm)