060 đề hsg toán 8 việt yên 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆT YÊN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 Câu 1 (5,0 điểm) 1) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức M b) Tìm giá trị lớn nhất của M 2) Cho Tính giá trị biểu thức Câu 2 (4,0 đ[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆT YÊN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Câu (5,0 điểm) x   1 x   x M     x  x  x 1  1) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức M b) Tìm giá trị lớn M 2) Cho a  b  c 2019 Tính giá trị biểu thức Câu (4,0 điểm) P a  b3  c  abc a  b  c  ab  ac  bc 3 2 1) Cho hai số hữu tỉ a, b thỏa mãn a b  2a  ab  2b  2a b  0 Chứng mnh  ab bình phương số hữu tỷ y   x  1 2 y  x  1 2) Tìm số nguyên x, y biết : Câu (4,0 điểm) 2  2018  x    2018  x   x  2019    x  2019  2 2018  x    2018  x   x  2019    x  2019   1) Giải phương trình  19 49  2) Cho hai số a, b  Z Chứng minh  Câu (6,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC vuông cân A Trên cạnh BC lấy điểm M Từ M kẻ ME a 5b  ab5 30 vng góc với AB  E  AB  , MF vuông góc với AC  F  AC  a) Chứng minh FC.BA  EB.CA  AB chu vi tứ giác MEAF khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M b) Chứng tỏ đường thẳng qua M vng góc với EF ln qua điểm cố định 2) Cho tam giác ABC Gọi P giao điểm ba đường phân giác tam giác ABC Đường thẳng qua P vng góc với CP cắt cạnh AC CB theo thứ tự AP BP CP   1 điểm M N Chứng minh AB AC BA.BC CB.CA Câu (1,0 điểm) Cho x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức Q x  y  z y  yz  z 1010  3x 2 ĐÁP ÁN Câu (5,0 điểm) x   1 x   x M     x  x  x 1  3) Cho biểu thức c) Rút gọn biểu thức M x   1 x   x M     x  x  x 1   x 1  x    x  1   x    x  1  x  1  x  1  2  x  1  x  1 2 x  x   x  x   x  1  x  1  2  x  1  x  1  2x x   x  x 2 Với x 1 M  x  x  d) Tìm giá trị lớn M 1 1 1   M  x  x   x  x      x     4 2 4   x   tm dkxd  Dấu xảy 1 Max M   x  Vậy 4) Cho a  b  c 2019 Tính giá trị biểu thức Ta có : P a  b3  c  abc a  b  c  ab  ac  bc a  b3  c  3abc  a  b   c  3a 2b  3ab  3abc  a  b  c    a  b    a  b  c  c   3ab  a  b  c     a  b  c   a  b  c  ab  bc  ca   P  a  b  c   a  b  c  ab  bc  ca  a  b  c  ab  bc  ca Vậy P 2019 a  b  c 2019 Câu (4,0 điểm) 3 2 3) Cho hai số hữu tỉ a, b thỏa mãn a b  2a  ab  2b  2a b  0 Chứng mnh  ab bình phương số hữu tỷ Ta có : a 3b  2a  ab3  2b  2a 2b  0   a 3b  2a 2b  ab3    2a  2b   0  ab  a  2ab  b    a  b   0  a 2b  a  2ab  b   2ab  a  b   ab 0  a 2b  a  2ab  b   2ab  a  b   1  ab   ab  a  b   1 1  ab   ab bình phương số tự nhiên (đpcm) y   x  1 2 y  x  1 x , y 4) Tìm số nguyên biết : Ta có : y   x  1 2 y  x  1  y  x   xy  y 0 2  x  xy  y  y  y  0   x  y    y   0 2 x  y 0 2 Do  x  y  0;  y   0     y  0 Vậy phương trình có nghiệm Câu (4,0 điểm)  x 1   y 2  x; y   1;  2  2018  x    2018  x   x  2019    x  2019  2 2018  x    2018  x   x  2019    x  2019  3) Giải phương trình   Đặt a 2018  x  x  2019  a  Phương trình cho trở thành : a  a   a  1    a  1 a  a   a  1    a  1  19 a  a  19   49 3a  3a  49  49a  49a  49 57 a  57 a  19  8a  8a  30 0  4a  4a   16 0   2a  1  0   a   x 2018   2a    2a  3 0    a   x 2016  2 1  S  2020 ; 2016  2  Vậy phương trình cho có tập nghiệm a 5b  ab5  30 4) Cho hai số a, b  Z Chứng minh  Nếu a, b lẻ a  b; a  b chẵn nên A2 19 49 Nếu a b chẵn A2  A2 với a,b thuộc Z (1)  a 3  b 3  A3 Nếu    a  b  3  A3  A3, a, b  Z    a  b      Nếu a b khơng chia hết cho Nếu a5 b5  A5 a  b  5  A5 Nếu a, b chia cho có số dư  a  b  5  A5  A5, a, b  Z a  b  5 Nếu a,b chia cho khác số dư   Do 2,3,5 đơi ngun tố nên từ (1), (2), (3) suy A30(dfcm) Câu (6,0 điểm) 3) Cho tam giác ABC vuông cân A Trên cạnh BC lấy điểm M Từ M kẻ ME vng góc với AB  E  AB  , MF vng góc với AC  F  AC  A E H F C M G B K D c) Chứng minh FC.BA  EB.CA  AB chu vi tứ giác MEAF khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M ABC vuông cân A nên AB  AC B C 45  BEM CFM vuông cân E F Xét tứ giác AEMF có A E F 90  AEMF hình chữ nhật suy ME  AF BE  FC AB  EB.CA FC AB  AF AB  AB  FC  AF   AB AC  AB AB  AB (dfcm) ME  MF  BE  AE 2 AB    Chu vi tứ giác AEMF  không đổi Vậy chu vi tứ giác AEMF khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M d) Chứng tỏ đường thẳng qua M vuông góc với EF ln qua điểm cố định Dựng hình vng ABDC  D điểm cố định Gọi K giao điểm MF BD G giao điểm ME DC  KMGD hình chữ nhật tứ giác BEMK , CFMG hình vng Xét GDM MEF có : MGD FME 90 , MG MF , DG ME  GDM MEF (c.g c)  GMD MFE Gọi H giao điểm MD EF nên HME GMD (hai góc đối đỉnh)  HME MFE  HME ∽ MFE  g g   EHM EMF Mà EMF 90  EHM 90  MH  EF Suy đường thẳng qua M vng góc với EF ln qua điểm D cố định 4) Cho tam giác ABC Gọi P giao điểm ba đường phân giác tam giác ABC Đường thẳng qua P vng góc với CP cắt cạnh AC CB theo AP BP CP   1 thứ tự điểm M N Chứng minh AB AC BA.BC CB.CA A K M D P C T B N B  A C  APC 180     90    Ta có Mà APC APM  MPC APM  90  APM  B PBA APM ABP (cmt ), MAP PAB  gt  Xét MAP PAB có :  MAP ∽ PAB ( g.g )   AP AB   AP  AM AB AM AP AP AM AB AM   AB AC AB AC AC K  AB  , NT  MN  T  AB  Kẻ MK  MN  MK / / DC (cùng vuông góc với MN )  AP KM  AB AC DC  AM   AC  AM KM  AC DC (Hệ định lý Ta-let)  BP NT    Chứng minh tương tự, ta có: AB.BC DC CMN có CP vừa đường cao vừa đường phân giác nên CP đồng thời trung tuyến Do PM PN MK / /TN  Tứ giác MKTN hình thang  có DP đường trung bình nên KM  NT 2 DP  AP BP KM  NT DP S APB      1 AB AC AB.BC DC DC S ABC Chứng minh tương tự ta : 2S APC 2S BP CP CP AP     BPC  3  2 ; AB.BC AC.BC S ABC AC.BC AB AC S ABC Cộng vế  1 ,   ,  3 ta :  S APB S APC S BPC   AP BP CP  2       2   AB AC BA.BC CB.CA   S ABC S ABC S ABC  AP BP CP    1 dfcm  AB AC BA.BC CB.CA Câu (1,0 điểm) Cho x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện y  yz  z 1010  Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức Q  x  y  z Ta có y  yz  z 1010  3x 2  y  yz  z 2020  x  x  y  z  xy  yz  xz 2020  x  xy  y  z  xz  x 2 2   x  y  z  2020   x  y    x  z  2020   2020  x  y  z  2020  x  y  z nhỏ  2020 Min  x  y  z   2020 x  y z  x  y z  2020  2020 3x 2