PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN Ý YÊN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG LỚP NĂM HỌC 2022-2023_MÔN TỐN I.Phần ghi kết (thí sinh cần ghi kết vào tờ giấy thi) x2 x 0 Câu Tập nghiệm phương trình x Câu 2.Tìm dư phép chia đa thức x x x cho đa thức x x y A 2 x y Câu 3.Cho x y x y 5 xy Tính biểu thức Câu Cho hình thang ABCD có hai đáy AB, CD Gọi O giao điểm AC , BD Biết OA 2cm, OB 4cm, S AOB 1cm Tính diện tích hình thang ABCD II Phần tự luận x2 x 6x x2 A : x 0; x x 4x x2 x Câu (4 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị lớn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A 2 Câu (4,5 điểm) x x 1 x x 1 x3 0 a) Giải phương trình 3 3 3 2 b) Cho số a, b, c khác thỏa mãn a b b c c a 3a b c Tính giá trị biểu thức M a b b c c a abc c) Tìm tất cặp số nguyên x; y thỏa mãn x y 2 xy 11 Câu (7,5 điểm) Cho ABC nhọn AB AC có đường cao AD, BE , CF cắt H Gọi M trung điểm cạnh BC a) Chứng minh AEF ∽ ABC b) Chứng minh BH BE CH CF 4 ME.MF HD HE HF c) Chứng minh AD BE CF số d) Trên tia đối FC lấy P cho AP / / BE , tia đối EB lấy điểm Q cho AQ / / CF Chứng minh AM PQ Câu (2 điểm) 4 a) Cho a b 2 Chứng minh a b 2 b) Cho đa thức f x có hệ số nguyên, biết f , f 1 số lẻ Chứng minh đa thức f x khơng có nghiệm ngun ĐÁP ÁN I.Phần ghi kết (thí sinh cần ghi kết vào tờ giấy thi) x2 x 0 Câu Tập nghiệm phương trình x x 0 x2 x 0 x x 1 0 S 0;1 x 1 x 1 Vậy Câu 2.Tìm dư phép chia đa thức x x x cho đa thức x x x3 x x 1 x x x x 3 Nên số dư phép chia 2 Câu 3.Cho x y x y 5 xy Tính biểu thức A xy x y x y 5 xy x xy y xy 0 x xy xy y 0 x x y y x y 0 y 2 x x y x y 0 x 2 y (do x y 0) A 3 x 2 y Câu Cho hình thang ABCD có hai đáy AB, CD Gọi O giao điểm AC , BD Biết OA 2cm, OB 4cm, S AOB 1cm Tính diện tích hình thang ABCD B A O D Do AB / /CD C 2 S OB ABO ∽ CDO AOB SOCD OD S OB SOCD 4cm AOB S ABD 3S AOB 3cm S ABD DB SOCD OD 3 S BCD SOCD 6(cm ) S BCD DB 2 S ABCD S ABD S BCD 3 9cm II Phần tự luận x2 x 6x x2 A : x 0; x x 4x x2 x Câu (4 điểm) Cho biểu thức d) Rút gọn biểu thức A x2 x 6x x2 A : x 0; x x x x x x x2 x 6x x2 : x x x 2 2 x x2 x 2 x x2 x x 2 x 2 6x x2 ( x 2) x x x x x x x3 x x x x x3 x x x x x x e) Tìm giá trị lớn biểu thức A A x x x x 1 x 1 Vậy Max A x 1(tmdk ) f) Tìm giá trị x để A 2 A x 1 x 1 3(VN ) x 1 2 2 x 0(ktm) 2 x 1 x 1 1 x 2(ktm) Vậy khơng có giá tri x thỏa mãn Câu (4,5 điểm) d) Giải phương trình x x 1 x x 1 x3 0 3x x 1 x x 1 x 0 x x x 1 x 1 x 0 x 0(ktm) 2 2 x x 1 x 1 x 0 a x 1 Đặt xa a x 0 xa a xa x 0 a x a x x a 0 x a a x 0 x a 0 a x 0 x x 0(VN ) x x 1 0 x x 1, x 0 Vậy phương trình có hai nghiệm 3 3 3 2 e) Cho số a, b, c khác thỏa mãn a b b c c a 3a b c Tính giá trị biểu thức 3 3 3 M a b b c c a 2 abc 3 a b b c c a 3a b c a b b 3c3 c 3a 3a 2b 2c 0 1 Đặt x ab, y bc, z ac x y z 3xyz 0 x y z 3xy ( x y z ) 0 2 x y z x y x y z z 3xy 0 x y z 0 2 x y x y z z 3xy 0 Th1: x y z 0 ab bc ca 0 1 M a b b c c a ab bc ca a b c abc abc abc 2 2 Th : x y ( x y ) z z x y y z z x 0 x y z ab bc ca a b c M a b b c c a abc 2a.2b.2c 8 abc f) Tìm tất cặp số nguyên x; y thỏa mãn x y 2 xy 11 x y 2 xy 11 10 x xy 15 y 0 x y y y x 7 1 1 1 Ta có bảng sau : 2x 5 2y x y 1 7 1 7 5 1 2 1 Vậy cặp số x; y 2;3 , 1; , 5; , 2; 1 AB AC có đường cao AD, BE , CF cắt Câu (7,5 điểm) Cho ABC nhọn H Gọi M trung điểm cạnh BC K Q' P' A Q P F B E H D M C e) Chứng minh AEF ∽ ABC AC AF AE AF ; A AB AE AB AC chung AEF ∽ ABC (c.g c) f) Chứng minh BH BE CH CF 4ME.MF CH CD CHD ∽ CBF CH CF CB.CD CB CF Tương tự có BH BE CB.BD CH CF BH BE CB.CD CB.BD CB Mà CB 2 EM ( BEC có EM trung tuyến), CB 2 FM (BFC có FM trung tuyến) ACF ∽ ABE CH CF BH BE 4 EM FM HD HE HF g) Chứng minh AD BE CF số S HCD HD S HD 1 ; BHD S ADC AD S DAB AD S S S S S HD S BHC 1 , HCD BDH HCD BDH BHC 3 S ADC S ADB S ADC S ADB S ABC AD S ABC HE S AHC HF S AHB 4 , 5 BE S ABC CF S ABC HD HE HF S BHC S AHC S AHB 1 AD BE CF S ABC HD HE HF 1 AD BE CF h) Trên tia đối FC lấy P cho AP / / BE , tia đối EB lấy điểm Q cho AQ / /CF Chứng minh AM PQ 3 , , Trên tia đối AP lấy P ' cho AP ' AC Trên tia đối AQ lấy Q ' cho AQ ' AB Vì AP / / BE mà BE AC nên AP AC PAC 90 PAF FAE 90 Tương tự QAB 90 QAE EAF 90 PAF QAE 90 PAF QAE APF ∽ AQE AP AF AF AC AP AB ; AQ AE AE AB AQ AC AP AP ' AC AP '; AB AQ ' PQ / / P ' Q ' AQ AQ ' Mà Trên tia đối MA lấy O cho MA MO AMB OMC (c.g c) AB CO, ABM OCM Vì ABM OCM AB / /CO BAC ACO 90 BAC P ' AQ ' 180 Q ' AP ' ACO Q ' AP ' OCA(c.g c ) Gọi giao điểm MA với P ' Q ' K, ta có : KAP ' CAO 90 mà CAO AP ' Q ' KAP ' AP ' Q ' 90 Nên AKP ' vuông K nên AM P ' Q ' AM PQ Câu (2 điểm) 4 c) Cho a b 2 Chứng minh a b 2 a 2 b 0 a b 2a 2b 0 a b a b 2a 2b a b4 a Tương tự: a b b2 a b 2 2 a b 2 d) Cho đa thức f x có hệ số nguyên, biết f , f 1 số lẻ Chứng minh đa thức f x khơng có nghiệm ngun Giả sử f x có nghiệm ngun a f x x a f x x a g x f a g f 1 a g 1 số lẻ nên a số lẻ số lẻ nên a số lẻ nên a số chẵn Điều mâu thuẫn với giả thiết nên đpcm