TỈNH BÀ RỊA VŨNG TÀU ĐỀ THI OLYMPIC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (3,0 điểm) 1) Chứng minh chia hết cho 9 với mọi số nguyên n 2) Phân tích da thức thành nhân tử Bài 2 (3,0 điểm) Cho biểu thức với 1[.]
TỈNH BÀ RỊA VŨNG TÀU ĐỀ THI OLYMPIC MƠN TỐN NĂM HỌC 2022-2023 Bài (3,0 điểm) 1) Chứng minh n3 n 1 n chia hết cho với số nguyên n x y z y z x2 z x2 y 2) Phân tích da thức thành nhân tử Bài (3,0 điểm) x xy y xy C x y : 2 x y x y y x x y với x y Cho biểu thức 1) Rút gọn biểu thức C 2) Khi cho x 2 y C M x x 1 y , tính giá trị biểu thức y 1 3xy x y 1 xy Bài (3,0 điểm) 16 x 1 8 x 1) Giải phương trình x 2) Tìm tất cặp số nguyên dương x, y thỏa mãn điều kiện x xy x y 0 Bài (3,0 điểm) 1) Cho số thực x thay đổi thỏa mãn x 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x 3x 2 2x n 2) Tìm tất số tự nhiên n cho 19 số phương Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, lấy điểm M trung điểm BC Qua điểm D thuộc đoạn BM , vẽ đường thẳng song song với AM , đường thẳng cắt hai đường thẳng AB, AC E F Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt EF K 1) Chứng minh AKE ACB MAC 2) Tính giá trị DE DF AM 3) Chứng minh K trung điểm đoạn thẳng EF Bài (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Trên đường cao AH tam giác ABC lấy điểm M (M nằm A H) Tia BM cắt AC I, tia CM cắt AB K Chứng minh HA tia phân giác KHI ĐÁP ÁN Bài (3,0 điểm) n3 n 1 n 3) Chứng minh Ta có : 3 chia hết cho với số nguyên n n3 n 1 n n3 n3 3n 3n n3 6n 12n 3n3 9n 15n 3n 15n n 1 Có n 1 9, n Z 1 Và 3n3 15n 3n3 3n 18n n 1 n n 1 18n 9 n3 n 1 n 9 Vậy x y z y z x2 z x y 4) Phân tích da thức thành nhân tử Ta có : x y z y z x z x y x y z y z yz yx zx zy x y z y z yz yx zx zy x y z y z yz y z x y z y z xy xz yz x y z z x y x x y y z z x x y Bài (3,0 điểm) x xy y xy C x y : 2 x y x y y x x y với x y Cho biểu thức 3) Rút gọn biểu thức C Với x y ta có : x xy y xy C x y : 2 x y x y y x x y x xy xy xy y x xy xy y xy : x y x y x y x y : x y x y x y x y x y x y xy 4) Khi cho x y C M x x 1 y 2 , tính giá trị biểu thức y 1 3xy x y 1 xy Theo cmt ta có : x Vì x y C x y với x y y C x y x y x y xy x y x y Ta có : M x x 1 y y 1 3xy x y 1 xy x x y y 3x y 3xy 3xy xy x xy y x3 3x y 3xy y x y x y * 2 M 4 Thay x y vào (*) ta có : Vậy M với x, y thỏa mãn đề Bài (3,0 điểm) 16 x 1 8 x 3) Giải phương trình x 16 x 1 8 x 0 x x 22 x 24 x 0 x 3 x x x x x 15 x 15 x x 0 x 1 x x 15 x 0 x 1 x 1 x 0 x 0 x 0 x 1(tmdk ) x 3(tmdk ) 4) Tìm tất cặp số nguyên dương x, y thỏa mãn điều kiện x xy x y 0 Giả sử tồn x, y Z thỏa mãn đề Ta có : x xy x y 0 x x y x y x 0 x y x 1 x 1 x 1 x y 1 3.1 1.3 1 3 2x x y 1 x y Vậy 3 1 1 3 1(ktm) 0(ktm)1 1 x; y 1;5 , 2; cặp giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu Bài (3,0 điểm) 3) Cho số thực x thay đổi thỏa mãn x 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 2x x 7x P x x x x 2x 2x Ta có : x 0, x 1 P x 3x Có x ; 0 Áp dụng bất đẳng thức AM GM cho x có : x x 1 2 2 2x 2x x 14 x 2 3 8 Vì 1 , , 3 P 0 P 4 Từ x 0 x x 2(tm) 2x x 2 Dấu xảy Min P x 2 Vậy n 4) Tìm tất số tự nhiên n cho 19 số phương Đặt 3n 19 a 1 32 k 19 a a 3k a 3k 19 *) Xét n 2k , k N Khi đó, (1) trở thành : a 3k 1 a 3k a 3k 2a 20 a 10 3n 19 10 n 4(tm) k a 19 Nhận thấy *)Xét n 2k 1, k N Khi (1) trở thành : 32 k 1 19 a 3.9k 19 a 1 mod 9k 1 mod 3.9k 3 mod Lại có 19 3 mod 3.9 19 2 mod k Mặt khác a đồng dư với mod n 2k k N khơng thỏa mãn Do n Vậy n 4 19 số phương mà Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, lấy điểm M trung điểm BC Qua điểm D thuộc đoạn BM , vẽ đường thẳng song song với AM , đường thẳng cắt hai đường thẳng AB, AC E F Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt EF K F A K E B D M C 4) Chứng minh AKE ACB MAC Xét tứ giác AKDM có : AK / / DM (vì AK / / BC ; D, M BC ) DK / / AM DF / / AM , K DF suy tứ giác AKDM hình bình hành nên AKD AMD 1 AMC AMD MAC MCA Ta có AMD góc ngồi Từ (1) (2) suy AKD MAC MCA hay AKE ACB MAC (dfcm) 5) Tính giá trị DE DF AM DE DF DE DE EF 2 DE EK KE KF cmt 2 DE EK 2DK Ta có : Mà DK AM (vì tứ giác AKDM hình bình hành) DE DF 2 AM DE DF AM 0 6) Chứng minh K trung điểm đoạn thẳng EF Xét AKE BHA có : AKE BMA (vì tứ giác AKDM hình bình hành); KAE MBA AK / / BC AK KE AKE ∽ BMA g g BM AM 1 KAF MCA AK / / BC , AFK CAM AM / / DE Xét AFK CAM có : Suy AFK ∽ CAM ( g g ) AK FK 2 CM AM Lại có BM CM (vì M trung điểm BC) (3) Từ 1 , , 3 KE FK hay K trung điểm EF (đpcm) Bài (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Trên đường cao AH tam giác ABC lấy điểm M (M nằm A H) Tia BM cắt AC I, tia CM cắt AB K Chứng minh HA tia phân giác KHI Q K B S A R P I M H Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt BI , CK , HK , HI P, Q, R, S AR KA AQ AS AI AP 1 2 Ta có : BH KB BC Tương tự HC IC BC AR HC AQ 3 Chia vế (1) cho (2) ta AS HB AP Lại có : AQ MA AP AQ HC AR 1 AR AS 4 HC MH BH AP HB Từ (3) (4) suy AS HRS cân H , AR AS HA tia phân giác KHI dfcm C ... vào (*) ta có : Vậy M với x, y thỏa mãn đề Bài (3,0 điểm) 16 x 1 ? ?8 x 3) Giải phương trình x 16 x 1 ? ?8 x 0 x x 22 x 24 x 0 x 3 x x x x x... 3n 15n n 1 Có n 1 9, n Z 1 Và 3n3 15n 3n3 3n 18n n 1 n n 1 18n 9 n3 n 1 n 9 Vậy x y z y z x2 z ... số nguyên dương x, y thỏa mãn điều kiện x xy x y 0 Giả sử tồn x, y Z thỏa mãn đề Ta có : x xy x y 0 x x y x y x 0 x y x 1 x