PHỊNG GD & ĐT VIỆT N ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề thi có 01 trang KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 MƠN THI: TỐN LỚP Ngày thi: 3/4/2013 Câu (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 2013 x 2012 x 2013 x2 x 2 x2 A x 8 x x x3 x x Rút gọn biểu thức sau: Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau: 2x 2 x 2013 4. x x 2012 4 x x 2013 x x 2012 3 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x x x y Câu (4,0 điểm) Tìm đa thức f ( x) biết rằng: f ( x) chia cho x dư 10, f ( x) chia cho x 2 dư 24, f ( x) chia cho x thương 5x dư Chứng minh rằng: 2 a b c b c a c a b a b c b a c a c b Câu (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE AF Vẽ AH vng góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC hai điểm M, N 1) Chứng minh tứ giác AEMD hình chữ nhật 2) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh AC 2 EF 1 2 AM AN 3) Chứng minh : AD Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn abc 1 Chứng minh rằng: 1 a b c b c a c a b ĐÁP ÁN Câu 1.1 Ta có: x 2013x 2012 x 2013 x x 2013 x 2013x 2013 x x 1 x x 1 2013. x x 1 x x 1 x x 2013 1.2 x 0 x 2 Điều kiện: Ta có: x2 x x2 A 1 x 8 x x x x x x2 2x x2 x 2x2 2 x2 4 4 x x2 x x2 x2 2x x 1 x 2x2 2 x2 4 x2 4 x x2 x. x x 2 x 2 x2 4 x x x 1 2x x 4 2 x 1 A x với Vậy Câu x 1 x x3 x2 x 1 2x x 0 x 2 x2 x x2 x x 2 x2 4 a 2 x x 2013 2.1 Đặt b x x 2012 Phương trình cho trở thành: a 4b 4ab a 2b 0 a 2b 0 a 2b Khi ta có: x x 2013 2. x x 2012 x x 2013 2 x 10 x 4024 11x 2011 x 2011 11 Vậy phương trình có nghiệm x 2011 11 3 y x 2 x 3x 2 x x y (1) 4 2.2 Ta có: 3 2 15 x y 4 x x x y x (2) 16 Từ 1 ta có: x y x mà x, y nguyên suy y x Thay y x vào phương trình ban đầu giải phương trình tìm 3 x y 0 Vậy x; y 1;0 Câu 3.1 Giả sử f ( x) chia cho x thương 5x dư ax b f ( x) x x ax b Khi : Theo đề bài, ta có: f (2) 24 2a b 24 a f ( 2) 10 2a b 10 b 17 f ( x) x ( x) x 17 Do : Vậy đa thức f ( x) cần tìm có dạng: f ( x) x3 47 x 17 3.2 Ta có: a b c b c a c a b a b c b a c a c b 0 xz a a b c x x y b c a y b a c b z yz c Đặt Khi ta có: xz xy yz yz xz xy 2 VT y x x y x y z 2 2 xz x z yz z y 2 y x x y z 2 2 1 x z y z y x x y z 4 =4 1 x y z x y z 0 VP (dfcm) 4 Câu (1) E A B H F D M C N ABF (cùng phụ với BAH ) 1) Ta có: DAM AB AD ( gt ); BAF ADM 900 (ABCD hình vng) ADM BAF g c.g DM AF , mà AF AE ( gt ) nên AE DM Lại có: AE / / DM (vì AB / / DC ) Suy tứ giác AEMD hình bình hành Mặt khác DAE 90 ( gt ) Vậy tứ giác AEMD hình chữ nhật 2) Ta có ABH FAH ( g.g ) AB BH BC BH AB BC ; AE AF AF AH hay AE AH Lại có: HAB HBC (cùng phụ với ABH ) CBH AEH (c.g c) 2 S SCBH BC BC CBH 4( gt ) , 4 BC AE S EAH AE mà S EAH AE BC 2 AE E trung điểm AB, F trung điểm AD Do đó: BD 2 EF hay AC 2 EF (dfcm) 3) Do AD / /CN ( gt ) Áp dụng hệ định lý Ta let ta có: AD AM AD CN CN MN AM MN Lại có: MC / / AB gt Áp dụng hệ định lý Ta let ta có: MN MC AB MC AD MC AN AB AN MN hay AN MN 2 2 2 2 MN AD AD CN CM CN CM 1 2 AM AN MN MN MN MN ( Pytago) 1 AD AD 1 2 AM AN AD AM AN (dfcm) Câu Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi a, b, c x, y, z ta có: a b2 c a b c x y z xyz a b c x y z Dấu " " xảy Thật vậy, với a, b x, y ta có: a b2 a b x y xy (*) (**) a y b x x y xy (a b)2 bx ay 0 (luôn đúng) Dấu " " xảy a b x y Áp dụng bất đẳng thức ** ta có: 2 a b2 c a b c2 a b c x y z xy z xyz a b c x y z Dấu " " xảy 1 2 1 a b c2 a b c b3 (c a) c3 (a b) ab ac bc ab ac bc Ta có: Áp dụng BĐT (*) ta có : 2 1 1 1 1 1 2 a b c a b c a b c ab ac bc ab ac bc ab bc ac 1 1 2 a b c (Vì abc 1) Hay 1 2 1 1 1 a b c ab ac bc ab ac bc a b c 1 2 1 a 3 b c Mà a b c nên ab ac bc ab ac bc 1 a b c b3 c a c a b Vậy (đpcm)