ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI Năm học 2011-2012 Bài (6 điểm) Cho biểu thức: 2x − 2x − 21 + x − x P= + − +1 ÷: 2 x − 12 x + 13x − x − 20 x − x + x − a) Rút gọn P x= b) Tính giá trị P x c) Tìm giá trị nguyên để P nhận giá trị nguyên x P>0 d) Tìm để Bài (3 điểm) Giải phương trình: 15 x a) − = 12 + ÷ x + 3x − x + 3x − b) 148 − x 169 − x 186 − x 199 − x + + + = 10 25 23 21 19 x−2 +3 =5 c) Bài (2 điểm) Giải toán cách lập phương trình: Một người xe gắn máy từ A đến B dự định 20 phút Nếu người tăng 5km / h B AB vận tốc thêm đến sớm 20 phút Tính khoảng cách vận tốc dự định người Bài (7 điểm) ABCD Cho hình chữ nhật Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M điểm đối C xứng qua P AMDB a) Tứ giác hình ? E F b) Gọi hình chiếu điểm M lân AB, AD Chứng minh E, F , P EF / / AC ba điểm thẳng hàng MEAF c) Chứng minh tỉ số cạnh hình chữ nhật khơng phụ thuộc P vào vị trí điểm PD CP = 2,4cm, = PB 16 CP ⊥ BD d) Giả sử Tính cạnh hình chữ nhật ABCD 2009 2008 + 20112010 2010 Bài (2 điểm) a) Chứng minh rằng: chia hết cho x, y , z b) Cho số lớn Chứng minh rằng: 1 + ≥ 2 + x + y + xy ĐÁP ÁN Bài ĐKXĐ: −3 x ≠ ;x ≠ ;x ≠ ;x ≠ ;x ≠ 2 P= a) Rút gọn b) +) x = x= x = ⇔ x = − 1 ⇒ .P = 2 P= c) 2x − 2x − ; +) x = −1 ⇒ .P = 2x − =1+ ∈¢ ⇒ x − ∈U (2) = { −2; −1;1;2} 2x − x−5 x − = −2 ⇒ x = 3(tm) x − = −1 ⇒ x = 4( ktm) x − = ⇒ x = 6(tm) x − = −2 ⇒ x = 7(tm) x ∈ { 3;6;7} Kết luận: P= d) 2x − =1+ 2x − x −5 Ta có: Để P>0 x>5 P nhận giá trị nguyên 1> > 0⇒ x −5>0 ⇔ x >5 x −5 P>0 Với Bài a) 15 x − = 12 + ÷ x + 3x − x + 3x − ⇔ 15 x − = 12 + DK : x ≠ −4; x ≠ x + x − ( x + ) ( x − 1) ( ) ⇔ 3.15 x − ( x + ) ( x − 1) = 3.12 ( x − 1) + 12 ( x + ) 3 x = x = (TM ) ⇔ 3x ( x + ) = ⇔ ⇔ x + = x = −4( KTM ) S = { 0} b) 148 − x 169 − x 186 − x 199 − x + + + = 10 25 23 21 19 148 − x 169 − x 186 − x 199 − x ⇔ − ÷+ − ÷+ − ÷+ − ÷= 25 23 21 19 1 1 ⇔ ( 123 − x ) + + + ÷ = ⇔ 123 − x = ⇔ x = 123 25 23 21 19 S = { 123} x−2 +3 =5 c) x − ≥ 0∀x ⇒ x − + > x−2 +3 = x−2 +3 Ta có: nên Phương trình viết dạng: x−2 +3=5⇔ x−2 =5−3⇔ x −2 = x − = x = ⇔ ⇔ x − = −2 x = S = { 0;4} Vậy Bài Gọi khoảng cách A B x( km) ( x > 0) Vận tốc dự định người xe gắn máy là: x 3x = (km / h) 10 3 5km / h 3h20' = (h) 3x + 5( km / h) 10 Vận tốc người xe gắn máy tăng lên là: 3x + ÷.3 = x ⇔ x = 150(tm) 10 Theo đề ta có phương trình: 150km Vậy khoảng cách A B Vận tốc dự định là: 3.150 = 45(km / h) 10 Bài a) Gọi O giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật ABCD ⇒ PO CAM đường trung bình tam giác ⇒ AM / / PO ⇒ AMDB hình thang · · AM / / BD OBA = MAE b) Do nên (đồng vị) · · AOB OBA = OAB Tam giác cân O nên ∆AIE Gọi I giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật AEMF cân I nên ·IAE = IEA · · · FEA = OAB , EF / / AC Từ chứng minh : có đó: IP / / AC ∆MAC IP Mặt khác đường trung bình nên E, F , P Từ (1) (2) suy ba điểm thẳng hàng MF AD ∆MAF : ∆DBA( g g ) ⇒ = FA AB c) Không đổi (1) (2) d) Nếu Nếu PD PD PB = ⇒ = = k ⇒ PD = 9k , PB = 16k PB 16 16 CP ⊥ BD ∆CBD : ∆DCP( g g ) ⇒ CP = PB.PD Do đó: PD = 9k = 1,8(cm); Chứng minh Bài Vì ( 2,4 ) hay CP PB = PD CP = 9.16k ⇒ k = 0, PB = 16k = 3,2(cm) BC = BP.BD = 16 , đó: BD = 5(cm) BC = 4cm, CD = 3cm 20092008 + 20112010 = ( 20092008 + 1) + ( 20112010 − 1) a) Ta có: 20092008 + = ( 2009 + 1) ( 20092007 − ) = 2010.( ) 2010 2011 − = ( 2011 − 1) ( 2011 2009 + .) = 2010.( .) Vì Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh 1 b) + ≥ (1) 2 + x + y + xy chia hết cho 2010 (1) chia hết cho 2010 (2) 1 1 ⇔ − + − ÷ ÷≥ 2 + x + xy + y + xy x( y − x) y( x − y) ⇔ + ≥0 ( + x ) ( + xy ) ( + y ) (1 + xy) ( y − x ) ( xy − 1) ⇔ Vì ⇒ ( + x2 ) ( + y ) (1 + xy) ≥0 (2) x ≥ 1; y ≥ ⇒ xy ≥ ⇒ xy − ≥ BĐT (2) nên BĐT (1) Dấu “=” xảy x= y ... 9k = 1 ,8( cm); Chứng minh Bài Vì ( 2,4 ) hay CP PB = PD CP = 9.16k ⇒ k = 0, PB = 16k = 3,2(cm) BC = BP.BD = 16 , đó: BD = 5(cm) BC = 4cm, CD = 3cm 200920 08 + 20112 010 = ( 200920 08 + 1) + ( 20112 010... ( x + ) = ⇔ ⇔ x + = x = −4( KTM ) S = { 0} b) 1 48 − x 169 − x 186 − x 199 − x + + + = 10 25 23 21 19 1 48 − x 169 − x 186 − x 199 − x ⇔ − ÷+ − ÷+ − ÷+ − ÷= 25 ... 20112 010 = ( 200920 08 + 1) + ( 20112 010 − 1) a) Ta có: 200920 08 + = ( 2009 + 1) ( 20092007 − ) = 2010.( ) 2010 2011 − = ( 2011 − 1) ( 2011 2009 + .) = 2010.( .) Vì Từ (1) (2) ta có điều phải chứng