ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 MƠN THI: TỐN Ngày thi: 12/04/2014 Thời gian làm bài: 120 phút Câu (4 điểm) Cho biểu thức: 2 x +1 x − A= − − x − 1÷ : x 3x x + 3x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên Câu (4 điểm) x để A nhận giá trị nguyên A = n3 ( n − ) − 36n M ∀n ∈ ¢ a) Chứng minh rằng: với P = n + n P b) Cho Tìm tất số tự nhiên để số nguyên tố Câu (4 điểm) 1 1 + + = x + x + 20 x + 11x + 30 x + 13 x + 42 18 a) Giải phương trình: a , b, c b) Cho ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: A= a b c + + ≥3 b+c−a a +c −b a +b−c Câu (6 điểm) Gọi O trung điểm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ Ax, By Ax C đường thẳng AB kẻ hai tia vng góc với AB Trên tia lấy điểm By (C khác A) Từ O kẻ đường thẳng vng góc với OC, đường thẳng cắt O OM D Từ hạ đường vuông góc xuống CD (M thuộc CD) a) Chứng minh OA2 = AC.BD b) Chứng minh tam giác AMB BC vuông AD MN / / AC Chứng minh c) Gọi N giao điểm Câu (2 điểm) a , b, c a + b + c = Cho số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng: a + bc b + ca c + ab + + ≥2 b+c c+a a+b ĐÁP ÁN Câu a) 2 x +1 x − A= − − x − 1÷ : x 3x x + 3x 2 ( x + 1) − x ( x + 1) x − A= − : 3x 3x x + x 2.(1 − 3x) x A= − x x x −1 x 2x A = = x −1 x −1 b) Với x ≠ 0; x ≠ ±1, A= 2x 2x = 2+ A= =2+ x −1 x −1 x −1 Ta có: ⇒ x − 1∈{ ±1; ±2} ( x − 1) A∈¢ Để phải ước x=2 x=3 Đối chiếu điều kiện tìm thỏa mãn Câu a) Ta có: A = n3 ( n − ) − 36n = n n ( n − ) − n ( n − ) + 6 = n ( n − 7n − ) ( n3 − 7n + ) = n ( n3 − n − 6n − ) ( n − n − 6n + ) = n ( n − 1) − ( n + 1) n ( n − 1) − ( n − 1) = n ( n + 1) ( n − n − ) ( n − 1) ( n + n − ) = n ( n + 1) ( n + ) ( n − 3) ( n − 1) ( n − ) ( n + ) Do A tích số ngun liên tiếp ⇒ AM ∀n ∈ ¢ P = n + = n + 4n + − n = ( n + ) − ( n ) b) 2 = ( n − 2n + ) ( n + 2n + ) = ( n − 1) + 1 ( n − 1) + 1 Vì có n số tự nhiên nên ( n − 1) Khi ( n + 1) + ≥ Như muốn + = ⇔ ( n − 1) = ⇒ n = P=5 số nguyên tố Câu a) Ta có: x + x + 20 = ( x + ) ( x + ) x + 11x + 30 = ( x + ) ( x + ) x + 13 x + 42 = ( x + ) ( x + ) x ≠ −4; x ≠ −5; x ≠ −6; x ≠ −7 TXĐ: Phương trình trở thành: P số nguyên tố ta phải 1 + + ( x + ) ( x + 5) ( x + 5) ( x + ) ( x + ) ( x + ) = 18 1 1 1 − + − + − = x + x + x + x + x + x + 18 1 ⇔ − = x + x + 18 ⇒ 18 ( x + ) − 18 ( x + ) = ( x + ) ( x + ) ⇔ ⇔ ( x + 13) ( x − ) = x = −13 ⇔ x = b) Đặt (tm) (tm) b + c − a = x > 0; c + a − b = y > 0; a + b − c = z > a= Từ suy : y+z x+z x+ y ;b = ;c = 2 A= Ta có: x, y , z > y + z x + z x + y y x x z y z + + = + ÷+ + ÷+ + ÷ 2x 2y 2z x y z x z y Thay vào ta được: A ≥ ( + + 2) ⇒ A ≥ ⇔ a =b =c Từ suy Dấu “= “ xảy Câu ∆ACO ∆BOD a) Xét có: · µA = B µ = 900 ; COA · · DOB ) = ODB (cùng phụ với AO BD ∆ACO : ∆BOD ( g g ) ⇒ = ⇒ AO.BO = AC.BD AC BO Nên AO = BO AO = AC.BD Mà nên ∆CMO ∆OMD b) Xét có: · · · · CMO = OMD = 900 ; OCM = DOM · COM ) (cùng phụ với ⇒ ∆CMO : ∆OMD ⇒ ∆ACO : ∆BOD ⇒ Mà Từ (1) (2) ta có: CO OM = OD MD CO AO CO OB = ⇒ = ( Do OD OD OD BD AO = OB ) ( ) OM OB = ⇒ ∆OMD : ∆OBD MD BD · · ⇒ MOD = BOD ⇒ ∆OMD = ∆OBD ⇒ OM = OB = OA ⇒ ∆AMB AC / / BD (1) (cạnh huyền, góc nhọn) vuông M AB) ⇒ CN AC = NB BD c) Ta có: (cùng vng góc với ∆ BD = MD OMD = ∆OBD Mà ( ) AC = CM Tương tự ta chứng minh CN CM = ⇒ MN / / BD / / AC BN DM Nên Câu a + bc = a ( a + b + c ) + bc = ( a + b ) ( c + a ) - Nhận xét : có b + ca = ( b + a ) ( b + c ) ; c + ab = ( c + a ) ( c + b ) Tương tự: ( a + b) ( a + c) + ( b + a) ( b + c) + ( c + a ) ( c + b) VT = b+c c+a a+b Do đó: Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có: ( a + b) ( a + c) + ( b + a ) ( b + c ) ≥ 2( a + b) b+c c+a ( a + b) ( a + c) + ( c + a ) ( c + b) ≥ a + c ( ) b+c a+b ( b + a) ( b + c) + ( c + a) ( c + b) ≥ b + c ( ) a+c a+b Vậy 2.VT ≥ ( a + b + c ) = ⇔ VT ≥ ⇔ a=b=c= Dấu “=” xảy ... + ( x + ) ( x + 5) ( x + 5) ( x + ) ( x + ) ( x + ) = 18 1 1 1 − + − + − = x + x + x + x + x + x + 18 1 ⇔ − = x + x + 18 ⇒ 18 ( x + ) − 18 ( x + ) = ( x + ) ( x + ) ⇔ ⇔ ( x + 13) ( x − ) = x