ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN NĂM HỌC 2013-2014 (Thời gian: 150 phút) Bài (3 điểm) Rút gọn biểu thức : A= 1 1 + + + + a + a a + 3a + a + 5a + a + a + 12 a + 9a + 20 Bài (4 điểm) Giải phương trình sau: a) ( x − 2008 ) + ( x − 2010 ) = x −1 − x − + x − = b) Bài (3 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức: x + x + 10 B= x + 2x + Bài (3 điểm) Giải bất phương trình: ax − 1 > ( a + 1) x + ( a ≠ 0) a a Bài (7 điểm) ABC Cho tam giác (cân A) vẽ đường cao AH, đường cao BK a) Tìm cặp tam giác vng đồng dạng ? Giải thích ? AH = 10cm, BK = 12cm b) Cho Hãy tính độ dài cạnh tam giác ABC AH c) Gọi I giao điểm BK, tìm điều kiện tam giác ABC để tam giác BCI tam giác ? ĐÁP ÁN Bài a ≠ 0; a ≠ −1; a ≠ −2; a ≠ −3; a ≠ −4; a ≠ −5 Điều kiện: 1 1 A= + + + + a + a a + 3a + a + 5a + a + a + 12 a + 9a + 20 1 1 = + + + + a ( a + 1) ( a + 1) ( a + ) ( a + ) ( a + 3) ( a + 3) ( a + ) ( a + ) ( a + ) 1 1 1 1 1 − + − + − + − + − a a +1 a +1 a + a + a + a + a + a + a + 1 a+4 = − = a a + a ( a + 5) = Bài ( x − 2008 ) + ( x − 2010 ) = a) y = x − 2009 Đặt ta có: 4 ( I ) ⇔ ( y + 1) + ( y − 1) = (I) ⇔ y + 12 y = ⇔ y2 ( y2 + 6) = ⇔ y = ⇔ x − 2009 = ⇔ x = 2009 x −1 − x − + x − = b) +Nếu x ( *) a≠0 ta có ( *) ⇔ x > a ( a + 2) ( *) ⇔ x > = 2 −2 a > −2 x a≠0 với ( *) ⇔ x < a ( a + 2) a < −2 Bài a = −2 a) Các cặp tam giác vuông đồng dạng : · · BAH = CAH ) ∆ABH : ∆ACH (Vì có ·ABH = BCK · ) ∆ABH : ∆BCK (vì có ∆ABH ) ∆ACH : ∆BCK (vì đồng dạng với AB AH 10 ∆ABH : ∆BCK ⇒ = = = BC BK 12 b) Từ AB ⇒ = ⇒ BH = AB BH (H chân đường cao, trung tuyến) 2 AB − BH = AH Ta lại có: (Định lý Pytago) 3 ⇒ AB − AB ÷ = 102 ⇒ AB = 12,5cm 5 ⇒ AC = AB = 12,5cm c) Chỉ ∆BIC ; BC = 15cm cân I · IBC = 600 ∆BIC Mà cân I trở thành tam giác · · · · IBC = HAB ⇒ HAB = 600 ⇒ BAC = 1200 Vậy để ∆BIC tam giác ∆ABC phải cân A µA = 1200 ... + − + − + − a a +1 a +1 a + a + a + a + a + a + a + 1 a+4 = − = a a + a ( a + 5) = Bài ( x − 20 08 ) + ( x − 2010 ) = a) y = x − 2009 Đặt ta có: 4 ( I ) ⇔ ( y + 1) + ( y − 1) = (I) ⇔ y + 12 y =... ktm) ta có ( II ) ⇔ 0.x + = 1≤ x < 1≤ x < +Nếu ta có: , Phương trình nghiệm với ( II ) ⇔ −4 x = ? ?8 ⇔ x = 2≤ x