013 đề hsg toán 8 huyện 2013 2014

ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 MƠN THI: TỐN Ngày thi: 12/04/2014 Câu (4 điểm)  2  x 1 A     x x x  x   Cho biểu thức :  x  1  :  x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Câu (4 điểm) A  n3  n    36n  7   n  a) Chứng minh rằng: b) Cho P n  Tìm tất số tự nhiên n để P số nguyên tố Câu (4 điểm) 1 1    a) Giải phương trình: x  x  20 x  11x  30 x  13x  42 18 b) Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c   3 b c  a a c  b a b  c Câu (6 điểm) Gọi O trung điểm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB kẻ hai tia Ax By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm A C  C  A  Từ O kẻ đường thẳng vng góc với OC , đường thẳng cắt By D Từ O hạ đường vng góc OM xuống CD (M thuộc CD) a) Chứng minh OA  AC.BD b) Chứng minh tam giác AMB vuông c) Gọi N giao điểm BC AD Chứng minh MN / / AC Câu (2 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c 1 Chứng minh rằng: a  bc b  ca c  ab   2 bc ca a b ĐÁP ÁN Câu  2  x 1  x  A     x  1  :  x  3x x   3x a)  2  x  1  x  x  1  x  A   : 3x  3x x   x  2   3x   x A    x x   x x 2x A 2  x x A 2x 2  x x b) Với x 0; x 1 Ta có: Để Athì  x  1 phải ước  x  1  1; 2 Xét trường hợp tìm x, đối chiếu điều kiện  x   2;3 Câu a) Ta có: A  n3  n    36n    n  n  n      n  n     n  n  n    n3  7n   n  n3  n  6n    n3  n  6n   n  n  n  1   n  1   n  n  1   n  1  n  n  1  n  n    n  1  n  n   n  n  1  n    n    n  1  n    n   Do A tích số nguyên liên tiếp nên A7 P n  n  4n   4n  n     2n  n   2  n  2n    n  2n     n  1  1   n  1  1     b) Vì n số tự nhiên nên  n  1 2  2 Như muốn P số ngun tố phải có  n  1  1 hay  n  1 0  n 1 Khi P 5 số nguyên tố Câu a) x  x  20  x    x   x  11x  30  x    x   x  13 x  42  x    x   TXĐ: x   4;  5;  6;  7 Phương trình trở thành: 1 1     x    x  5  x  5  x    x    x   18 1 1 1       x  x  x  x  x  x  18 1    x  x  18  18  x    18  x    x    x     x  13   x  13  x   0    x 2 S   13;2 b) Đặt b  c  a x  0; c  a  b  y  0; a  b  c z  Ta có x, y , z  yz xz x y a ;b  ;c  ; 2 Từ suy A Thay vào ta y  z x  z x  y 1   y       x 2x 2y 2z     3 Từ suy Dấu “=” xảy  a b c A hay A 3 x   x z   y z        y   z x   z y   Câu y x C M D N A O B      a) Xét ACO BOD có: A B 90 ; COA ODB (cùng phụ với DOB) AO BD    AO.BO  AC.BD  ACO   BOD g g   AC BO Nên Mà AO BO nên AO  AC.BD     b) Xét CMO OMD có: CMO OMD 90 ; OCM DOM (cùng phụ với CO OM  (1) COM )  CMO OMD( g g )  OD MD CO AO CO OB ACO BOD      2 OD BD OD BD Mà (Do AO OB) OM OB   OMD OBD Từ (1) (2) ta có MD BD    MOD BOD  OMD OBD (cạnh huyền – góc nhọn)  OM OB OA suy AMB vuông M  CN AC  NB BD c) Ta có: AC / / BD (cùng  AB) Mà BD MD (hai cạnh tương ứng hai tam giác nhau) Tương tự ta chứng minh : AC CM CN CM   MN / / BD / / AC Nên BN DM Câu Nhận xét có: a  bc a  a  b  c   bc  a  b   c  a  ; c  ab  c  a   c  b  Tương tự có: b  ca  b  a   b  c  VT   a  b  a  c   b  a   b  c   c  a   c  b bc ca a b Do Áp dụng bất đẳng thức Cơ – si ta có:  a  b   a  c    b  a   b  c  2 a  b   b c ca  a  b   a  c    c  a   c  b  2 a  c   b c a b  b  a   b  c    c  a   c  b  2 b  c   a c a b (dfcm) Vậy 2.VT 4  a  b  c  4 hay VT 2 a b c  Đẳng thức xảy