KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014-2015 Mơn: TỐN 10 100 11 − Bài Chứng minh chia hết cho Bài Phân tích đa thức thành nhân tử: P = x ( y − z ) + y ( z − x) + z ( x − y ) Bài Cho biểu thức x3 − x2 x +1 Q =1+ − − ÷: 2 x +1 x − x −1 x +1 x − x + x Q a) Rút gọn x− Q b) Tính giá trị biết x = 4 Q c) Tìm giá trị ngun để có giá trị ngun m x − 5m = + 3mx Bài Tìm giá trị phương trình có nghiệm số gấp ba nghiệm số phương trình: ( x + 1) ( x − 1) − ( x + ) Bài Tìm tất cặp số nguyên x − 25 = y ( y + ) Bài Cho hình vng ABCD ( x; y ) =3 thỏa mãn phương trình: , M điểm cạnh BC Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa C dựng hình vng AMHN song với AB, d cắt AH E, cắt DC F BM = ND a) Chứng minh N ; D; C b) Chứng minh thẳng hàng Qua M dựng đường thẳng d song c) EMFN hình MFC DF + BM = FM M d) Chứng minh chu vi tam giác không đổi thay đổi vị trí BC ĐÁP ÁN Bài 1110 − = ( 11 − 1) ( 119 + 118 + + 11 + 1) = 10 ( 119 + 118 + + 11 + 1) Vì 10M 10 ( 11 Và + 118 + + 11 + 1) ( 11 Nên + 11 + + 11 + 1) có chữ số tận chia hết cho 10 100 11 − Vậy chia hết cho Bài x ( y − z ) + y ( z − x ) + z ( x − y ) 10 = x2 ( y − z ) + y z − y x + z x − z y = x ( y − z ) + yz ( y − z ) + x ( y − z ) = ( y − z ) ( x + yz − xy − xz ) = ( y − z ) x ( x − y ) − z ( x − y ) = ( y − z) ( x − y) ( x − z) Bài a) ĐKXĐ: x ≠ 0; −1;2 x3 − x x +1 Q =1+ − − ÷: 2 x + x − x −1 x +1 x − x + x x + + x + − ( x − x + 1) x − x + =1+ x( x − 2) ( x + 1) ( x − x + 1) −2 x + x x2 − x + =1+ ( x − 1) ( x − x + 1) x ( x − ) =1+ b) −2 x −1 = x +1 x +1 x = (ktm) x− = ⇒ 4 x = − x = − ⇒ Q = −3 c) Với Q∈¢ với x ∈ { −3; −2;1} Bài ( x + 1) ( x − 1) − ( x + ) = ⇔ x2 − − x2 − 4x − = ⇔ −4 x = ⇔ x = −2 x − 5m = + 3mx Để phương trình có nghiệm gấp ba lần nghiệm phương trình ( x + 1) ( x − 1) − ( x + ) = x = −6 hay Ta có 6.( −6 ) − 5m = + 3m.( −6 ) ⇔ −5m + 18m = 39 ⇔ 13m = 39 ⇔ m = x − 5m = + 3mx phương trình có nghiệm số gấp ba nghiệm số ( x + 1) ( x − 1) − ( x + ) = phương trình Bài x − 25 = y ( y + ) Vậy với m=3 ⇔ x − ( y + 3) = 16 ( ±4 ) ( ±4 ) ⇔ ( x + y + 3) ( x − y − 3) = ( ±2 ) ( ±8 ) ±1 ±16 ) ( ) ( x− y -1 11 -5 19 -13 x+ y -7 -11 -1 13 -19 -2 -4 Vậy cặp số nguyên phải tìm là: ( 4; −3) ; ( −4; −3) ; ( 5;0 ) ; ( −5; −6 ) ; ( 5; −6 ) ; ( −5;0 ) Bài a) ABCD Vì hình vng (gt) AMHN · · ⇒ BAM + MAD = 900 (1) · · ⇒ DAN + MAD = 900 ( ) hình vng (gt) · · BAM = DAN Từ (1) (2) suy µ = NDA · ∆AND = ∆AMB (c.g.c) ⇒ B BM = ND Ta có: · ABCD ⇒ FDA = 900 b) hình vng · · · ⇒ NDA + FDA = NDC · ⇒ 900 + 900 = NDC · ⇒ NDC = 1800 Suy N ; D; C thẳng hàng MN AMHN AH c) Gọi O giao điểm hai đường chéo hình vng ⇒O AMHN tâm đối xứng hình vuông E , F ∈ AH ⇒ AH MN đường trung trực đoạn , mà FM = FN (3) ⇒ EN = EM ¶ =M ¶ FON OM = ON ; N EOM = Tam giác vuông tam giác vuông · ⇒ ·AOM = NOH ⇒ EM = NF ( ) ( Từ ( 3) , ( ) ⇒ EM = NE = NF = FM ) ⇒ MENF FM = FN = FD + DN d) Từ (5) suy mà ⇒ MF = DF + BM hình thoi (5) DN = MB (cmt ) MCF ABCD a Gọi chu vi tam giác p cạnh hình vng p = MC + CF + MF = MC + CF + BM + DF ( DoMF = DF + MB ) = ( MC + MB) + (CF + FD) = BC + CD = a + a = 2a Hình vng ABCD cho trước ⇒a khơng đổi ⇒p khơng đổi ... đổi thay đổi vị trí BC ĐÁP ÁN Bài 1110 − = ( 11 − 1) ( 119 + 1 18 + + 11 + 1) = 10 ( 119 + 1 18 + + 11 + 1) Vì 10M 10 ( 11 Và + 1 18 + + 11 + 1) ( 11 Nên + 11 + + 11 + 1) có chữ số tận chia hết... phương trình ( x + 1) ( x − 1) − ( x + ) = x = −6 hay Ta có 6.( −6 ) − 5m = + 3m.( −6 ) ⇔ −5m + 18m = 39 ⇔ 13m = 39 ⇔ m = x − 5m = + 3mx phương trình có nghiệm số gấp ba nghiệm số ( x + 1) ( x... y + ) Vậy với m=3 ⇔ x − ( y + 3) = 16 ( ±4 ) ( ±4 ) ⇔ ( x + y + 3) ( x − y − 3) = ( ±2 ) ( ? ?8 ) ±1 ±16 ) ( ) ( x− y -1 11 -5 19 -13 x+ y -7 -11 -1 13 -19 -2 -4 Vậy cặp số nguyên phải tìm