de thi hsg toan 8 nam 2014 2015 phong gddt tam dao vinh phuc

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI PHÒNG GD&ĐT TAM ĐẢO NĂM HỌC 2014-2015 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1( 2,0 điểm):   x3 Cho biểu thức: M= 1  x 9     x  3x  x  24 :  x  6x  9x  3x   :   x   a) Rút gọn M b) Tìm giá trị nguyên x để M đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn Câu 2( 2,0 điểm): Giải phương trình bất phương trình sau: a) x 1 x x3 x      2015 2014 1006 2013 2012 1007 y2    b)  y  y2  y y 1 Câu 3( 2,5 điểm):  x  y  z  015  a) Cho ba số x, y , z khác không thỏa mãn:  1 1  x  y  z  20 15  Chứng minh ba số x, y, z tồn hai số đối a2 b2 c2 abc    b) Cho ba số dương a, b, c Chứng minh rằng: bc ca ab Câu 4( 2,5 điểm): Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O M điểm thuộc cạnh BC (M khác B, C) Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE = CM a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân b) Chứng minh: ME // BN c) Từ C kẻ CH  BN ( H  BN) Chứng minh ba điểm O, M, H thẳng hàng Câu 5( điểm): 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x  y  xy  x  y  2015 Hết HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014 - 2015 Mơn: Tốn - Lớp Câu Ý Nội dung Điểm 3 a 0,25 ĐKXĐ: x  0; x  3; x   x  24   x3   3x  M  1  : :      x  x   x  3x  x9  x  x3    2( x  3)  1  2  (x )   ( x )  4  3( x3  2)     : :  6    x ( x  3) x ( x  x  9)  x        ( x )        2x    1  :  x   x ( x  3)  x3 ( x3  3) 3( x  2)     (2,0 điểm)  b 0,25 x3   1 3 x 2 x 2 0,25 Ta có: M  Vậy x  M có giá trị lớn (2,0 điểm) b 0,25 x3  x ( x  3)2 x3   x3  x ( x  3) 4( x  2) x 2 M có giá trị lớn x  có giá trị nhỏ mà x  Z nên x  phải có giá trị nguyên dương nhỏ  x  =6  x  a 0,25 13 x 1 x x3 x      2015 2014 1006 2013 2012 1007 x 1 x  2 x3 x4         2015 2014 2014 1006 2013 2012 2012 1007 x 1 x  x 3 x 4         2015 2014 1007 2012 2013 2012 2012 1007 x 1 x2 x3 x4  1 1  1 1 2015 2014 2013 2012 x  2016 x  2016 x  2016 x  2016     2015 2014 2013 2012 1 1  ( x  2016)(    )   x  2016 2015 2014 2013 2012 0, 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ĐK: y  y2  4(1  y )   y  y 2 y      0  y  y2  y y3  (1  y  y )(1  y )  y3 3y2  3y y ( y  1) y ( y  1) 0 0 0 3 1 y 1 y (1  y )(1  y  y ) 3 y    3 y   y   y  y2 y  Vậy nghiệm bất phương trình cho  y   0,25 0,25 0,25 0,25 a 1 ( x  y  z )(   )  x y z  ( x  y  z )( xy  yz  zx)  xyz  0,25  x( xy  xz )  xyz  ( y  z )( xy  xz )  yz ( y  z )  xyz   x ( y  z )  x( y  z )  yz ( y  z )  0,25 0,25  ( y  z )( x  xy  xz  yz )  x  y   ( x  y ( y  z )( z  x)    y  z    z  x  x   y  y  z   z   x 0,25 Vậy ba số x, y, z tồn hai số đối 0,25 b Ta có: (2,5 điểm) a b c ( a  b  c)2    x, y, z >0 (1) x y z x yz 0,25 Thật vậy, áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: a b2 c ( x  y  z )(   ) x y z  a b c    ( x )2  ( y )  ( z )  ( )  ( )  ( )2  y z   x  a   x  x   0,25 c  y  z   (a  b  c) y z  b a b2 c ( a  b  c)2    x, y, z >0 x y z x yz 0,25 Áp dụng BĐT (1) ta có: a2 b2 c2 (a  b  c) a  b  c     a, b, c  b  c c  a a  b 2(a  b  c)  ĐPCM Dấu “=” xảy a A E  a=b=c 0,25 0,25 B H M (2,5 điểm) 0,25 O N D C Xét ∆OEB ∆OMC Vì ABCD hình vng nên ta có OB = OC   MCO   450 Và EBO BE = CM ( gt ) Suy ∆OEB = ∆OMC ( c g.c)   MOC   OE = OM EOB   900 tứ giác ABCD hình vng  O   BOC Lại có O   EOB   MOB   MOC   MOB   COB   900 kết hợp với OE = EOM OM  ∆OEM vuông cân O b 0,25 Từ (gt) tứ giác ABCD hình vng  AB = CD AB // CD AM BM + AB // CD  AB // CN  ( Theo ĐL Ta- lét) (*)  MN MC Mà BE = CM (gt) AB = CD  AE = BM thay vào (*) Ta có : c 0,25 AM AE  ME // BN ( theo ĐL đảo ĐL Ta-lét)  MN EB 0,25 0,25 0,25 Gọi H’ giao điểm OM BN   MH  Từ ME // BN  OME ' B ( cặp góc đồng vị)   450 ∆OEM vng cân O Mà OME    MH ' B  450  MCO  ∆OMC  ∆BMH’ (g.g)  0,5 OM MC   CMH ' ( hai góc đối đỉnh) ,kết hợp OMB  MB MH '   MH   ∆OMB  ∆CMH’ (c.g.c)  OBM ' C  450    Vậy BH ' C  BH ' M  MH ' C  900  CH '  BN Mà CH  BN ( H  BN)  H  H’ hay điểm O, M, H thẳng hàng (1,0 điểm) Ta có: x  y  xy  x  y  2015 x  xy  y  y  y   x  x   2010  (2 x  y )2  ( y  2)  ( x  1)2  2010  2010x, y, z Vậy Min(A)=2010   x    y   Tổng điểm -HÕt 0,5 0,25 0,5 0,25 10,0 ... x 1 x x3 x      2015 2014 1006 2013 2012 1007 x 1 x  2 x3 x4         2015 2014 2014 1006 2013 2012 2012 1007 x 1 x  x 3 x 4         2015 2014 1007 2012 2013 2012... 1 x2 x3 x4  1 1  1 1 2015 2014 2013 2012 x  2016 x  2016 x  2016 x  2016     2015 2014 2013 2012 1 1  ( x  2016)(    )   x  2016 2015 2014 2013 2012 0, 0,25 0,25 0,25...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014 - 2015 Mơn: Tốn - Lớp Câu Ý Nội dung Điểm 3 a 0,25 ĐKXĐ: x  0; x  3; x   x  24   x3 