ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Năm học : 2012-2013 Bài ( điểm) Cho biểu thức : − x3 − x2 A= − x ÷: 1− x 1− x − x + x a) Rút gọn biểu thức ( x ≠ ±1) A x = −1 A b) Tính giá trị biểu thức x A < c) Tìm giá trị để Bài (3 điểm) 2 ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = 4.( a + b + c − ab − ac − bc ) Cho a=b=c Chứng minh Bài (3 điểm) Giải toán cách lập phương trình: 11 Một phân số có tử số bé mẫu số Nếu bớt tử số đơn vị tăng mẫu số lên đơn vị phân số nghịch đảo phân số cho Tìm phân số Bài (2 điểm) A = a − 2a3 + 3a − 4a + Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài (3 điểm) ABC 600 BD Cho tam giác vng A có góc ABC , phân giác Gọi M , N, I BD, BC , CD theo thứ tự trung điểm AMNI a) Tứ giác hình ? Chứng minh AB = 4cm AMNI b) Cho Tính cạnh tứ giác Bài (5 điểm) Hình thang ABCD ( AB / /CD ) có hai đường chéo cắt O Đường AD, BC AB thẳng qua O song song với đáy cắt cạnh bên theo thứ tự M,N a) Chứng minh OM = ON 1 + = AB CD MN b) Chứng minh S AOB = 20082 SCOD = 20092 ( dvdt ) S ABCD c) Biết (dvdt); Tính ĐÁP ÁN Bài x ≠ ±1 a) Với thì: − x3 − x + x ( 1− x) ( 1+ x) A= : 1− x ( + x ) ( − x + x2 ) − x ( + x ) = ( − x ) ( + x + x2 − x ) 1− x = ( + x2 ) : : ( − x) ( + x) ( + x ) ( − x + x2 ) = ( + x ) ( − x ) 1− x −5 x = −1 = 3 b) Tại 25 A = 1 + − ÷ − 1 − − ÷ = 1 + ÷.1 + ÷ = 10 3 27 x ≠ ±1 (1+ x ) (1− x) < A x 1− x < ⇔ x >1 Vì với nên xảy Bài Biến đổi đẳng thức để a + b − 2ab + b + c − 2bc + c + a + 2ac = 4a + 4b + 4c − 4ab − 4ac − 4bc Biến đổi để có: Biến đổi để có: (a + b − 2ac ) + ( b + c − 2bc ) + ( a + c − 2ac ) = ( a − b) + ( b − c ) + ( a − c ) = ( *) 2 Vì ( a − b) Nên ( *) ≥ 0; ( b − c ) ≥ 0; ( a − c ) ≥ 2 xảy Từ suy ( a − b) với a , b, c = 0; ( b − c ) = 0; ( a − c ) = 2 a=b=c Bài Gọi tử số phân số cần tìm Phân số cần tìm x mẫu số phân số cần tìm x + 11 x ( x ≠ −11) x + 11 Khi bớt tử số đơn vị tăng mẫu số lên đơn vị ta phân số Theo ta có phương trình : x x + 15 = x + 11 x − Giải phương trình tìm − Từ phân số cần tìm x = −5 (tm) Bài Biến đổi để có: A = a ( a + ) − 2a ( a + ) + ( a + ) + = ( a + ) ( a − 2a + 1) + = ( a + ) ( a − 1) + x−7 x + 15 Vì a + > 0∀a Do đó: Dấu (a "=" ( a − 1) ≥ 0∀a + ) ( a − 1) + ≥ xảy nên (a + ) ( a − 1) ≥ 0∀a ∀a a −1 = ⇔ a = Bài a) Chứng minh AMNI hình thang Chứng minh AN = MI từ suy tứ giác AMNI hình thang cân AD = cm; BD = AD = cm 3 b) Tính AM = BD = cm NI = AM = Tính DC = BC = cm, MN = DC = cm 3 AI = Tính cm cm Bài OM OD ON OC OD OC = ; = ; = AB BD AB AC DB AC a) Lập luận để có: OM ON ⇒ = ⇒ OM = ON AB AB b) Xét Từ OM DM = ( 1) AB AD (Định lý Ta let) OM AM = (2) DC AD ∆ADC , Xét có : AM + DM AD ⇒ OM + = =1 ÷= ( 1) , ( ) AD AD AB CD ∆ABD có: Chứng minh tương tự : 1 ON + + = ÷= ⇒ AB CD MN AB CD c) S AOB OB S BOC OB = , = ⇒ S AOB S DOC = S BOC S AOD S AOD OD S DOC OD S AOD = S BOC ⇒ S AOB S DOC = ( S AOD ) Chứng minh được: 20082.20092 = ( S AOD ) ⇒ S AOD = 2008.2009 Thay số để có S ABCD = 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = ( 2008 + 2009 ) = 4017 ( dvdt ) Do : ... ⇒ S AOB S DOC = ( S AOD ) Chứng minh được: 20 082 .20092 = ( S AOD ) ⇒ S AOD = 20 08. 2009 Thay số để có S ABCD = 20 082 + 2.20 08. 2009 + 20092 = ( 20 08 + 2009 ) = 4017 ( dvdt ) Do : ... đáy cắt cạnh bên theo thứ tự M,N a) Chứng minh OM = ON 1 + = AB CD MN b) Chứng minh S AOB = 20 082 SCOD = 20092 ( dvdt ) S ABCD c) Biết (dvdt); Tính ĐÁP ÁN Bài x ≠ ±1 a) Với thì: − x3 − x + x