ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 MƠN THI: TỐN Ngày thi: 12/04/2014 Câu (4 điểm) Cho biểu thức : 2 x +1 x − A= − − x − 1÷ : x 3x x + 3x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên Câu (4 điểm) x để A nhận giá trị nguyên A = n3 ( n − ) − 36n M ∀n ∈ ¢ a) Chứng minh rằng: P = n + n P b) Cho Tìm tất số tự nhiên để số nguyên tố Câu (4 điểm) 1 1 + + = x + x + 20 x + 11x + 30 x + 13 x + 42 18 a) Giải phương trình: a , b, c b) Cho ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c A= + + ≥3 b+c−a a +c −b a +b−c Câu (6 điểm) Gọi O trung điểm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ By Ax Ax AB đường thẳng kẻ hai tia vng góc với AB Trên tia lấy điểm C ( C ≠ A) OC , Từ O kẻ đường thẳng vng góc với đường thẳng cắt O OM Từ hạ đường vng góc xuống CD (M thuộc CD) OA = AC.BD a) Chứng minh AMB b) Chứng minh tam giác vuông By D N BC MN / / AC c) Gọi giao điểm AD Chứng minh Câu (2 điểm) a, b, c a + b + c = Cho số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng: a + bc b + ca c + ab + + ≥2 b+c c+a a+b ĐÁP ÁN Câu a) 2 x +1 x − A= − − x − 1÷ : x 3x x + 3x 2 ( x + 1) − x ( x + 1) x − A= − : x x + x x 2 ( − 3x ) x A= − 3x x − 3x A = b) Với x 2x = x −1 x −1 x ≠ 0; x ≠ ±1 A= 2x =2+ x −1 x −1 Ta có: ⇒ x − 1∈{ ±1; ±2} ( x − 1) A∈ ¢ Để phải ước ⇒ x ∈ { 2;3} x, Xét trường hợp tìm đối chiếu điều kiện Câu a) Ta có: A = n3 ( n − ) − 36n = n n ( n − ) − n ( n − ) + = n ( n3 − n − ) ( n3 − 7n + ) = n ( n3 − n − 6n − ) ( n − n − 6n + ) = n n ( n − 1) − ( n + 1) n ( n − 1) − ( n − 1) = n ( n + 1) ( n − n − ) ( n − 1) ( n + n − ) = n ( n + 1) ( n + ) ( n − 3) ( n − 1) ( n − ) ( n + 3) AM ∀n ∈ ¢ A Do tích số ngun liên tiếp nên P = n + = n + 4n + − n = ( n + ) − ( 2n ) b) 2 = ( n − 2n + ) ( n + 2n + ) = ( n − 1) + 1 ( n + 1) + 1 Vì n số tự nhiên nên có ( n − 1) Khi +1 =1 P=5 hay ( n + 1) ( n − 1) 2 +1≥ Như muốn P số nguyên tố phải = ⇒ n =1 số nguyên tố Câu x + x + 20 = ( x + ) ( x + ) a) x + 11x + 30 = ( x + ) ( x + ) x + 13 x + 42 = ( x + ) ( x + ) x ≠ { −4; −5; −6; −7} TXĐ: Phương trình trở thành: 1 1 + + = ( x + ) ( x + 5) ( x + 5) ( x + ) ( x + ) ( x + ) 18 1 1 1 − + − + − = x + x + x + x + x + x + 18 1 ⇔ − = x + x + 18 ⇒ 18 ( x + ) − 18 ( x + ) = ( x + ) ( x + ) ⇔ x = −13 ⇔ ( x + 13) ( x − ) = ⇒ x = S = { −13;2} b) Đặt b + c − a = x > 0; c + a − b = y > 0; a + b − c = z > a= Từ suy y+z x+ z x+ y ;b = ;c = ; 2 Ta có x, y , z > Thay vào ta A≥ Từ suy Dấu “=” xảy y + z x + z x + y = y + x + x + z + y + z A= + + ÷ ÷ x y ÷ 2x 2y 2z z x z y ( + + 2) = ⇔ a=b=c hay A≥3 Câu · µA = B µ = 900 COA · · DOB ) = ODB a) Xét có: ; (cùng phụ với AO BD ⇒ = ⇒ AO.BO = AC BD ∆ACO : ∆BOD ( g.g ) AC BO Nên AO = BO AO = AC.BD Mà nên · · · · CMO = OMD = 900 ; OCM ∆CMO ∆OMD = DOM b) Xét có: (cùng phụ với ∆ACO ∆BOD CO OM = ·COM ) ⇒ ∆CMO : ∆OMD( g.g ) ⇒ OD MD ∆ACO : ∆BOD ⇒ Mà CO AO CO OB = ⇒ = ( 2) OD BD OD BD (Do (1) AO = OB ) OM OB = ⇒ ∆OMD : ∆OBD MD BD Từ (1) (2) ta có · · ⇒ MOD = BOD ⇒ ∆OMD = ∆OBD ⇒ OM = OB = OA suy ∆AMB (cạnh huyền – góc nhọn) vng M CN AC ⇒ = ⊥ AB) NB BD AC / / BD c) Ta có: (cùng BD = MD Mà (hai cạnh tương ứng hai tam giác nhau) AC = CM Tương tự ta chứng minh : CN CM = ⇒ MN / / BD / / AC BN DM Nên Câu a + bc = a ( a + b + c ) + bc = ( a + b ) ( c + a ) Nhận xét có: b + ca = ( b + a ) ( b + c ) ; c + ab = ( c + a ) ( c + b ) Tương tự có: ( a + b) ( a + c) + ( b + a) ( b + c) + ( c + a) ( c + b) VT = b+c c+a a+b Do Áp dụng bất đẳng thức Cơ – si ta có: ( a + b) ( a + c) + ( b + a) ( b + c) ≥ a + b ( ) b+c c+a ( a + b) ( a + c) + ( c + a ) ( c + b) ≥ a + c ( ) b+c a +b ( b + a) ( b + c) + ( c + a) ( c + b) ≥ b + c ( ) a+c a+b Vậy 2.VT ≥ ( a + b + c ) = hay a=b=c= Đẳng thức xảy VT ≥ (dfcm) ... + = ( x + ) ( x + 5) ( x + 5) ( x + ) ( x + ) ( x + ) 18 1 1 1 − + − + − = x + x + x + x + x + x + 18 1 ⇔ − = x + x + 18 ⇒ 18 ( x + ) − 18 ( x + ) = ( x + ) ( x + ) ⇔ x = −13 ⇔ ( x + 13) ( x