ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HƯNG YÊN Năm học: 2013-2014 Mơn: TỐN Bài (2,0 đ) Giải phương trình sau: x − 214 x − 132 x − 54 a) + + =6 86 84 82 1 1 b) + + = x + x + 20 x + 11x + 30 x + 13 x + 42 18 Bài (2,0 đ) a , b, c a) Cho cạnh tam giác a b c A= + + ≥3 b+c−a a+c −b a +b−c Chứng minh : a b c x y z + + =0 + + =1 x y z a b c b) Cho x2 y z + + =1 a b2 c Chứng minh rằng: Bài (1,0 đ) Giải toán cách lập phương trình Một phân số có tử số bé mẫu số 11 Nếu bớt tử số đơn vị tăng mẫu lên đơn vị phân số nghịch đảo phân số cho Tìm phân số Bài (3,0 đ) AH ( H ∈ BC ) ( AC > AB ) ∆ABC Cho vuông A , đường cao Trên tia HC lấy điểm D HA = HD BC cho Đường vng góc với D cắt AC E BEC ADC BE Chứng minh hai tam giác đồng dạng Tính độ dài đoạn theo m = AB BE BEC BHM trung điểm đoạn Chứng minh hai tam giác AHM đồng dạng Tính số đo góc Gọi M GB HD = BC AH + HC BC AM Tia cắt G Chứng minh Bài (1,0 đ) 2010 x + 2680 A= x2 + Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài (1,0 đ) Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số đo chu vi ĐÁP ÁN Câu x − 214 x − 132 x − 54 a) + + =6 86 84 82 x − 214 x − 132 x − 54 ⇔ −1+ −2+ −3= 86 84 82 x − 300 x − 300 x − 300 ⇔ + + =0 86 84 82 1 ⇔ ( x − 300 ) + + ÷ = 86 84 82 ⇔ x = 300 b) Ta có: x + x + 20 = ( x + ) ( x + ) x + 11x + 30 = ( x + ) ( x + ) x + 13 x + 42 = ( x + ) ( x + ) x ≠ −4; x ≠ −5; x ≠ −6; x ≠ −7 ĐKXĐ: Phương trình trở thành: 1 + + ( x + ) ( x + 5) ( x + 5) ( x + ) ( x + ) ( x + ) = 18 1 1 1 − + − + − = x + x + x + x + x + x + 18 1 ⇔ − = x + x + 18 ⇔ 18 ( x + ) − 18 ( x + ) = ( x + ) ( x + ) ⇔ ⇔ ( x + 13) ( x − ) = x = −13; x = Từ tìm Câu a b + c − a = x > 0; c + a − b = y > 0; a + b − c = z > Đặt y+z x+z x+ y a= ;b = ;c = 2 Từ suy y + z x + z x + y y x x A= + + = + ÷ + + 2x 2y 2z x y z Thay vào ta được: A ≥ ( + + 2) A≥3 Từ suy hay b a b c ayz + bxz + cxy + + =0⇔ = ⇔ ayz + bxz + cxy = x y z xyz Từ Ta có: z y z + ÷+ x z y ÷ x y z x y z + + =1⇔ + + ÷ =1 a b c a b c x2 y2 z xy xz yz ⇔ + + + 2. + + ÷= a b c ab ac bc x2 y2 z cxy + bxz + ayz ⇔ + + + =1 a b c abc x2 y2 z ⇔ + + =1 ( dpcm) a b c Câu Gọi tử số phân số cần tìm x x + 11 ( x ≠ −11) tìm x mẫu số cua phân số cần tìm x + 11 Khi bớt tử số đơn vị tăng mẫu số lên đơn vị ta phân số: x x + 15 = ⇒ x = −5 x + 11 x − Theo ta có phương trình: (thỏa mãn) −5 Từ ta tìm phân số Câu Phân số cần x−7 ( x ≠ −15) x + 15 ADC BEC 1) Hai tam giác có: CD CA = µ C CE CB chung; (hai tam giác vng CDE CAB đồng dạng) ∆BEC : ∆ADC Do : · BEC = ·ADC = 1350 ∆AHD Suy : (vì vng cân H theo giả thiết) ·AEB = 450 BE = AB = m ∆ABE Nên vng cân A suy BM BE AD = = ( Do∆BEC : ∆ADC ) BC BC AC 2) Ta có: AD = AH AHD Mà (tam giác vng cân H) BM AD AH BH BH = = = = ( ∆ABH : ∆CBA ) BC AC AC AB BE Nên ∆BHM : ∆BEC (c.g c) Do 3) , suy ∆ABE · · BHM = BEC = 1350 ⇒ ·AHM = 450 · BAC AM vuông cân A, nên tia tia phân giác GB AB AB ED AH HD = , = ( ∆ABC : ∆DEC ) = ( ED / / AH ) = GC AC AC DC HC HC Suy : mà GB HD GB HD GB HD = ⇒ = ⇒ = GC HC GB + GC HD + HC BC AH + HC Do đó: Câu 2010 x + 2680 A= x2 + 335 ( x + 3) 335 x − 335 + 335 x + 2010 x + 3015 = = − 335 + ≥ −335 x2 + x2 + Vậy GTNN A −335 x = −3 Câu x, y , z Gọi cạnh tam giác vng ; cạnh huyền x, y , z ( số nguyên dương) xy = ( x + y + z ) ( 1) x + y = z (2) Ta có: z = ( x + y ) − xy, Từ (2) suy z2 = ( x + y ) − 4( x + y + z ) t hay (1) vào ta có: z2 + 4z = ( x + y ) − 4( x + y ) z2 + 4z + = ( x + y ) + ( z + 2) = ( x + y − 2) , suy z+2= x+ y−2 z z = x+ y−4 ( 1) , thay vào ta được: xy = ( x + y + x + y − ) xy − x − y = −8 ( x − ) ( y − ) = = 1.8 = 2.4 x, y , z Từ ta tìm giá trị là: ( x; y; z ) = { ( 5;12;13) ; ( 12;5;13) ; ( 6;8;10 ) ; ( 8;6;10 ) } ... + =6 86 84 82 x − 214 x − 132 x − 54 ⇔ −1+ −2+ −3= 86 84 82 x − 300 x − 300 x − 300 ⇔ + + =0 86 84 82 1 ⇔ ( x − 300 ) + + ÷ = 86 84 82 ⇔ x = 300 b) Ta có: x + x + 20 = ( x + ) ( x +... x + 2 680 A= x2 + Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài (1,0 đ) Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số đo chu vi ĐÁP ÁN Câu x − 214 x − 132 x − 54 a) + + =6 86 84 82 x −... + ( x + ) ( x + 5) ( x + 5) ( x + ) ( x + ) ( x + ) = 18 1 1 1 − + − + − = x + x + x + x + x + x + 18 1 ⇔ − = x + x + 18 ⇔ 18 ( x + ) − 18 ( x + ) = ( x + ) ( x + ) ⇔ ⇔ ( x + 13) ( x − ) = x =