070 đề HSG toán 9 hưng yên 2014 2015

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC : 2014 - 2015 Mơn thi: Tốn lớp Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề Ngày thi 19 tháng 03 năm 2015 _ ĐỀ CHÍNH THỨC Câu I (3,0 điểm) Cho x     10 Tính giá trị biểu thức 1   A  x  x3  x2  x  2015 Câu II (4,0 điểm) Cho Parabol  P  : y  x đường thẳng  d  : y  mx  (m tham số thực) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB  10 Tìm tất nghiệm nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình x  xy  y  x  y  40  Câu III (5,0 điểm) Giải phương trình x3  x  40  x2  x3  y 15 y  14   y x  Giải hệ phương trình  x  xy  15 x    Câu IV (6,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB  5a AD  2a (a > 0) M điểm cạnh AB (M khác A khác B) Gọi H, K hình chiếu vng góc M AC DC Chứng minh điểm B, C, K, H, M thuộc đường tròn Xác định tâm O đường trịn AH MK Tính theo a MH Khi AK tiếp tuyến đường tròn (O) Tính AM theo a Câu V (2,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  ac  bc  Tìm giá trị nhỏ 19a  19b  19c    biểu thức T   b2  c2  a2 HẾT - HƯỚNG DẪN CÁCH LÀM BÀI Câu I : x  2   10  2  1 1 4   1  2  Thay x  vào A ta có   A  x4  x3  x  x  2015  3   3 1  2  1  1 2    1     2   2 1 2015    1   1 3 1 2   12015  Câu II: Hoành độ giao điểm (P) (d) x  mx   x  mx   Ta có   m  ( m   ) nên đồ thị hàm số (P) (d) cắt hai điểm phân biệt)  x1  x2  m  x1 x2  1 Theo hệ thức Viète ta có  Gọi A (x1; y1) B (x2; y2) giao điểm (P) (d) ta có:  x1  x2  AB    y1  y2   10   x1  x2    x12  x2   10 2   x1  x2   x1 x2   x1  x2   x1 x2  2 10 2   x1  x2   x1 x2   x1  x2   x1 x2  4 x1 x2  10    m2   m2  m 4  10  m4  5m    m  m  6m2     m  1  m 6  0  m2    m  1 Ta có x  xy  y  x  y  40   x  y  xy  x  y   x  xy  y  41   x  y  1   x  y   41 2   x  y  1   x  y   42  52 2 x  y 1  x     2x  y   y 1 x  y 1  x  TH2:  x  y    y  (loại)   Vậy nghiệm nguyên dương phương trình (2; 1) TH1: Câu III: ĐK:  x     x  x3 Ta có: 5 x  x  40  x  x  x 40  x  x   x   x 5 0   x   x  0     x   x    2x  x   x x 2 x 5 x2 5 x2 20  4x 3x 20    0 0 TH1: x   x 0 ĐK: x    x   x   x  20  x  2  x2 TH2: x  x 3x 20 0  x  x 3 x 20  x  x  9 x 120 x 400  13x  100 x  400  (vô nghiệm) Vậy phương trình có nghiệm x =  x3  y 15 y  14   y x   1 Ta có:  x3  xy  15 x      Ở phương trình (1) ta có:  x  y 15 y  14   y x   x  3x  y  15 y  y  14  x  3x  y  y  12 y   y   x  3x   y     y 2   x  y  (*) Từ (2) (*) ta có hệ phương trình: x2 y x  y2     4 x  xy  15 x   4 x  x  x 2  15 x 3 0 x2  y x2  y     2 4 x  x  x   8 x  12 x  x    1  x    x  1  5     y  5   x   y   1  5   ; Vậy hệ phương trình có nghiệm      Câu IV: · · Xét tứ giác MHCB ta có MHC  MBC  90 · ·  MHC  MBC  180  Tứ giác MHCB nội tiếp đường trịn đường kính MC (1) · · Xét tứ giác MKCB ta có MKC  MBC  90 · ·  MKC  MBC  90  Tứ giác MKCB nội tiếp đường trịn đường kính MC (2) Từ (1) (2) suy năm điểm B, C, K, H, M thuộc đường trịn đường kính MC  Tâm O trung điểm MC Xét ABC AHM có · · · chung MHM  MBC  90 CAB  ABC đồng dạng AHM  AB BC  mà MK = BC AH MH AB MK AH MK   AB  mà AB  5a AH MH MH AH MK  5a  MH  Giả sử AK tiếp tuyến (O) Dễ dàng ta có tứ giác MKCB hình chữ nhật nên O nằm đoạn BK Xét ABK vng K đường cao KM ta có AM MB MK  AM  AB AM  AD  AM 5a AM 4a  AM  5a AM 4a 0  AM  4a AM a AM 4a 0  AM  AM 4a  a  AM 4a  0   AM  a   AM 4a  0  AM  a   AM  4a Vậy AM= 4a AM = a Câu V: Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có ab  ac  bc  a  b  c   b a c   a  b2  c   a  b  c   ab ac bc  3 2 3   a  b  c   abc 3 19a  19b  19c  b c   a 1 b 1 c 1   a    16    3    2 2 2  2  1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 a  1 b 1 c 1 a  a b c a 1 b 1 c 1   B   Đặt A  2 1 b 1 c 1 a  b2  c2  a2 T Ta lại có: b c  ab bc ca ab bc ac  a          2  2 2 2  1 b 1 c 1 a  1 b 1 c 1 a a) a  b  c  A  a  b  c    A abc (*)  a 1 b 1 c 1    2   1 b 1 c 1 a  a  ab  a    b b  bc  b    c c  a 2c  c    a     b2  c2  a2 ab  b bc  c a c  a a  b  c       b2  c2  a2 2 abc  B  a b  c 3  2 a bc B  (**) 2 b) a  b  c   B  a  b  c    Từ (*) (**) ta có:  16 A  3B  16  a b c  35 39  T   a b c   2 3   3 2 33 Vậy giá trị nhỏ T 33 Dấu “=” xảy a  b  c   abc 3    2 