052 đề HSG toán 8 hồng dương 2013 2014

Trường THCS Hồng Dương ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN Năm học: 2013-2014 Thời gian : 120 phút Bài (6 điểm) y2  y   a) Giải phương trình: b) Giải bất phương trình: x  2x  1 1    0 x  x  x  x  12 x  x  20 x  11x  30 Bài (5 điểm) 2.1 ) Cho đa thức P( x)  x  x  16 x  m a) Tìm m để P( x) chia hết cho x  b) Với m vừa tìm câu a, tìm số dư chia P( x) cho x  phân tích thừa số bậc 2.2) Cho đa thức P( x)  x  ax  bx  cx  dx  e Biết P (1)  1; P (2)  4; P (3)  16; P (5)  25 Tính P(6); P(7)? Bài (2 điểm) Cho a, b, c   0;1 a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức P  a  b2  c Bài (7 điểm) Cho hình bình hành ABCD  AC  BD  Gọi E, F hình chiếu B, D lên AC; H, K hình chiếu C AB AC a) Tứ giác DFBE hình ? Vì ? b) Chứng minh: CHK : BCA c) Chứng minh: AC  AB AH  AD AK ĐÁP ÁN Bài a)   y  y  3  x  x    x  2x  2   y  1    x  1  3     y2  y     x  1  y  1   y  1   x  1   2 2   x  1  y  1   y  1   x  1  Vì  x  1 2 2  0;  y  1  2 x    x  1    y 1   y 1 1 1    0 x  x  x  x  12 x  x  20 x  11x  30 1 1       x  1;2;3;4;5;6   x    x  3  x  3  x    x    x    x    x   b)  x2   x2  1 1 1       0 x3 x3 x4 x4 x5 x 5 x6 4 0    x  2  x  6  x6  x  2  x  6  x    2  x  x      x    x     x   Kết hợp với điều kiện ta có  x  x  3;4;5 Bài 2.1) 3 2 a) P( x)  x  x  16 x  m  x  x  16 x  24 x  x  12  m  12  3x  x  3  x  x     x  3  m  12   x  3  3x  x    m  12  x  3 m  12   m  12 Để P ( x )M 3 2 b) Với m  12; P( x)  x  x  16 x  12  x  x  3x  x  18 x  12  x  3x    x  3x     x     x    x  x   Phân tích P( x) tích thừa số bậc nhất: P ( x)  x3  x  16 x  12   x  3  x    x   2.2 ) Vì P (1)  1; P (2)  4; P (3)  9; P (4)  16; P (5)  25 2 Mà P ( x)  x  ax  bx  cx  dx  e  P ( x )   x  1  x    x  3  x    x    x  P (6)  5.4.3.2.1  62  156  P (7)  6.5.4.3.2   769 Bài Vì a, b, c   0;1    a    b    c   Ta có:   a    b    c     a  b  c    ab  bc  ac   abc  Vi a  b  c  2  1   ab  bc  ac   abc   ab  bc  ac  abc   1(Vi abc  0)  2  ab  bc  ac   2 Lại có:  a  b  c   a  b  c   ab  bc  ac   P  a  b  c   a  b  c    ab  bc  ac     ab  bc  ac     2 Vậy Pmax    a, b, c  hoán vị  0;1;1 Bài a) DF / / BE (vì vng góc với AC) AFD  CEB (Cạnh huyền – góc nhọn)  DF  BE  DFBE hình bình hành · b) BC / / AK  BCK  90 ·ABC  900  BCH · (góc ngồi CHB) · · · HCK  900  BCH  ·ABC  HCK · · · Có: CKD  ACD  DAC (góc ngồi DKC ) · · · · · · · HBC  BAC  BCA mà BCA  DAC ; BAC  DCA CD CK AB CK  CKD : CBH      CHK : BCA  c.g c  BC CH BC CH AB AE AEB : AHC    AE AC  AB AH  1 AC AH c) AF AD   AF AC  AD AK   AK AC Cộng (1) (2) vế theo vế ta có: AE AC  AF AC  AB AH  AD AK (3) AFD : AKC  Mà AFD  CEB  cmt   AF  CE  3  AC. AE  EC   AB AH  AD.AK  AC  AB AH  AD.AK ... m  12   m  12 Để P ( x )M 3 2 b) Với m  12; P( x)  x  x  16 x  12  x  x  3x  x  18 x  12  x  3x    x  3x     x     x    x  x   Phân tích P( x) tích thừa số