PHỊNG GD & ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013-2014 Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Bài Đa thức bậc có hệ số cao thỏa mãn f 1 5; f 11; f 3 21 Tính f 1 f Bài a) Tìm tất số nguyên n cho: n 2n 2n n số phương 2 2 b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x xy y x y Bài Chứng minh : x 1 x 3 x x 10 với x Bài a) Cho tam giác ABC , gọi M, N trung diểm BC , AC Gọi O, G, H giao điểm ba đường trung trực, ba đường cao, ba đường trung tuyến tam giác ABC Tính tỉ số GH : GO b) Cho hình thang ABCD có hai đáy AB 2a, CD a Hãy dựng điểm M đường thẳng CD cho đường thẳng AM cắt hình thang làm hai phần có diện tích Bài Cho x 0, y 0, z 0 x y z 1 Chứng minh xy yz zx xyz 27 ĐÁP ÁN Câu Nhận xét: g ( x) 2 x thỏa mãn g 1 5; g 11; g 3 21 Q( x) f ( x) g ( x) đa thức bậc có nghiệm x 1; x 2; x 3 Vậy Q( x) x 1 x 1 x 3 x a ta có: f ( 1) Q 1 2. 1 29 24a f (5) Q 2.52 173 24a f ( 1) f (5) 202 Câu a) 2 Giả sử n 2n 2n n y Ta có: y n n n n y n2 n y n2 n y n2 n (Vi y ) y n2 n y n n 1 2 y n n n n Thay n2 n n n 3 0 n 2 Thử trực tiếp n 2; n thỏa mãn Vậy số nguyên n cần tìm n 2; 3 b) Thêm xy vào hai vế phương trình ta có: ( y ) x xy y x y xy x y xy xy 1 Ta thấy xy & xy hai số nguyên liên tiếp có tích số phương nên tồn số 2 TH1: xy 0 x y x y 0 x; y 1; 1 ; 1;1 TH2: xy 0 ta có xy nên Thử lại ba cặp số 0;0 ; 1;1 ; 1; 1 nghiệm phương trình cho Câu Ta có: x 1 x 3 x x 10 x 1 x x 3 x 10 x x x x 12 10 x x 3 x x 3 10 2 x x 10 x x x Vì (x) x 0 x Do : với x x 9 1 với x (bài toán chứng minh) Câu a) A H M G B O N C Ta có: OM / / AH (vì vng góc với BC) ON / / BH (vì vng góc với AC) NM / / AB (đường trung bình tam giác) Xét ABH MNO Có: BAH NMO (góc có cạnh tương ứng song song) ABH MNO (góc có cạnh tương ứng song song) NM OM ABH MNO g.g BA AH Xét AGH MOG có: GAH GMO (so le trong) (1) GM GA (tính chất trọng tâm ) (2) OM (cmt ) AH Từ 1 ; ; 3 AHG MOG c.g.c AGH MGO(4) Mặt khác : A, G, M thẳng hàng (5) GH AH 2 H , G , O GO OM Từ (4),(5) thẳng hàng b) D a C K x A M N H B Gọi h đường cao hình thang ABCD Giả sử dựng điểm M thuộc CD cho đường thẳng AM cắt hình thang thành hai phần có diện tích Gọi N giao điểm AM BC Đặt S1 S ADCN ; S S ANB ; S S ABCD s1 s2 s S2 S : (1) s s Ta có: Kẻ đường cao NH tam giác ANB đặt NH x ta có: 3ah s 2a a h 2 s2 2a.x ax 3ah 3h ax x 2 Thay vào (1) : NB NC suy cách dựng: Áp dụng định lý Talet NC BC Chia đoạn BC làm phần nhau, lấy điểm N BC cho Đường thẳng AN cắt đường thẳng CD điểm M cần dựng x yz xyz 27 Câu Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: Mặt khác: xyz x y z y z x z x y xyz z x y xyz 1 x y z xy yz xz xyz xyz 1 xy yz zx xyz xyz 4 xy yz zx xyz 1 4 xy yz zx xyz 27 xy yz zx xyz (dfcm) 27