UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề thi có 01 trang ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2012-2013 MƠN THI: TỐN Ngày thi 23/4/2013 Thời gian làm 150 phút Câu (4,5điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x − xy − x + y b) x + 2013 x + 2012 x + 2013 x2 − x x − x − x2 Q = + Cho biểu thức ÷ ÷ , với x ≠ x ≠ x2 x + x ( x − 2) + 4( x − 2) a) Rút gọn biểu thức Q b) Tìm giá trị x để Q có giá trị Câu (5,0 điểm) Giải phương trình sau: a) x − x − = 14 b) x − 150 x − 102 x − 56 x − 12 x − 660 + + + + =0 50 49 48 47 46 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x + 2x + 3x + = y3 Câu (3,0 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức P = 2012 x + y − 20( x + y ) + 2213 2 Chứng minh n + 7(7 + 2n ) chia hết cho 64 với n số nguyên lẻ Câu (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE = AF Vẽ AH vng góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC hai điểm M, N Chứng minh tứ giác AEMD hình chữ nhật Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng: AC = 2EF 1 = + Chứng minh rằng: 2 AD AM AN Câu (1,5 điểm) 1 25 Cho a b hai số dương có tổng Chứng minh (a + )(b + ) ≥ a b Đẳng thức xảy nào? -Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị (Họ tên ký) Giám thị (Họ tên ký) UBND HUYỆN NHO QUAN PHỊNG GI DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KSCL HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM 2012-2013 MƠN THI: TỐN (Hướng dẫn chấm có 04 trang) Câu Hướng dẫn giải (2.0 điểm) (4,5 điểm) 0,5 0,5 a) x − xy − x + y = (7 x − xy ) − (5 x − y ) = 7x(x - y) – 5(x - y) = (x - y)(7x – 5) b) Ta có x + 2013 x + 2012 x + 2013 2 = ( x − x ) + 2013x + 2013x + 2013 0.25 = x ( x − 1) ( x + x + 1) + 2013 ( x + x + 1) 0.5 = ( x + x + 1) ( x − x + 2013) 0.25 x ≠ x ≠ Với ĐK: x2 − x x − x − x2 Q = + Ta có ÷ ÷ x2 x + x ( x − 2) + 4( x − 2) (2.5 điểm) x( x − 2) ( x + 1)( x − 2) x2 = + ÷ ÷ x2 2( x + 4) ( x + 4)( x − 2) 0.75 x( x − 2) + x ( x + 1)( x − 2) = ÷ ÷ x2 2( x − 2)( x + 4) 0.5 x − x + x + x x + x( x + 4)( x + 1) x + = = 2( x + 4) x x ( x + 4) 2x x +1 b) Q = = ⇔ 4( x + 1) = x ⇔ x = − ⇔ x = −2 2x = 0.5 0.5 x = -2 thỏa ĐKXĐ nên giá trị cần tìm 0.25 Câu (5.0 điểm) x − x −1=14 ⇔ ⇔ x − x −15 = a) x − x − = 14 ⇔ x2 − x +13 = x − x −1= −14 (1,5 điểm) (1,5 điểm) 0,5 0.5 Pt x − x − 15 = ⇔ ( x − 5)( x + 3) = ⇔ x = hc x = −3 CM Pt x − x + 13 = vơ nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình cho S = { − 3;5 } b) x − 150 x − 102 x − 56 x − 12 x − 660 + + + + =0 50 49 48 47 46 ⇔ ( x − 150 ⇔( 50 − 1) + ( x − 102 49 − 2) + ( x − 56 48 − 3) + ( x − 12 47 − 4) + ( 0.25 0.25 x − 660 46 x − 200 x − 200 x − 200 x − 200 x − 200 )+( )+( )+( )+( )=0 50 49 48 47 46 ⇔ (5 x − 200)( 1 1 + + + + )=0 50 49 48 47 46 + 10) = 0,25 0,25 0,25 ⇔ (5x -200) = ⇔ x = 40 0,5 Vậy tập nghiệm Pt cho S = { 40} 0,25 3 Ta có y − x = 2x + 3x + = x + ÷ + > 4 3 ⇒x 16 ⇒ y< x+2 (2) Từ (1) (2) ta có x < y < x + mà x, y nguyên suy y = x + Thay y = x + vào pt ban đầu giải phương trình tìm x = ± 1; từ tìm hai cặp số (x, y) thỏa mãn toán là: (-1 ; 0) (1; 2) KL nghiệm Câu 0.25 0.5 0.25 (4 điểm) Ta có x + y − 20( x + y ) + 2213 = ( x − 10) + ( y − 10) + 2013 ≥ 2013 với x, y 2 2 2012 2012 ≤ ( x − 10) + ( y − 10) + 2013 2013 (1.0 điểm) 2012 P= x = 10 y = 10 2013 2012 Vậy Max P = x = 10 y = 10 2013 ⇒P= n + 7(7 + 2n ) = n + 14n + 49 = (n + 7) 2 2 (2.0 điểm) Khi (n + 7) =16 [ k (k + 1) + ] 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 D Do n số nguyên lẻ nên n = 2k +1 (k ∈ ¢ ) Câu 0.5 0.25 Do k(k +1) chia hết [ k (k + 1) + 2] chia hết cho 0.5 0.5 ⇒ 16 [ k (k + 1) + 2] chia hết cho 64 0.25 Vậy n + 7(7 + 2n ) chia hết cho 64 với n số nguyên lẻ 0.25 (6 điểm) E A B H F D C M N (2.0 điểm) Ta có DAM · · · (cùng phụ BAH ) = ABF AB = AD ( gt) ·BAF = ADM · = 900 (ABCD hình vng) ⇒ ΔADM = ΔBAF (g.c.g) => DM=AF, mà AF = AE (gt) Nên AE = DM Lại có AE // DM ( AB // DC ) Suy tứ giác AEMD hình bình hành · Mặt khác DAE = 900 (gt) 0.75 0.5 0.5 Vậy tứ giác AEMD hình chữ nhật 0.25 Ta có ΔABH : ΔFAH (g.g) => (2.0 điểm) 0.5 AB BH BC BH = = hay ( AB=BC, AE=AF) AF AH AE AH · · · Lại có HAB (cùng phụ ABH ) = HBC ⇒ ΔCBH : ΔEAH (c.g.c) 2 SΔCBH S BC BC = ⇒ ΔCBH = ⇒ = nên BC2 = (2AE)2 , mà (gt) ÷ ÷ S SΔEAH AE ΔEAH AE ⇒ BC = 2AE ⇒ E trung điểm AB, F trung điểm AD Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm) 0.5 0.5 0.5 Do AD // CN (gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có: ⇒ AD AM AD CN = ⇒ = CN MN AM MN 0.5 (1) Lại có: MC // AB ( gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có: (2.0 điểm) ⇒ MN MC AB MC AD MC = ⇒ = = hay AN AB AN MN AN MN 2 0.5 1 AD AD ⇒ ÷ + ÷ = => AM + AN = AD AM AN Câu 0.5 CN + CM MN AD AD CN CM = =1 ÷ + ÷ = ÷ + ÷ = MN MN AM AN MN MN Từ (1),(2) ⇒ (Pytago) (2) (đpcm) 0.5 1,5 điểm P = ( ab + a b 25 )+( + )≥ ab b a (*) Vì ( a + b ) ≥ 4ab, a + b =1, ab f ⇒ (1,5 điểm) 0.25 ≥4 ab 0.5 a b ) + ( + )= ab b a a b 15 15 25 = (ab + )+( + )+ ≥ + + = (Theo BĐT 16ab b a 16ab 16 Mà P = (ab + 0.5 Cauchy) nên BĐT (*) bđt CM Đẳng thức xảy a = b = 0.25 Lưu ý chấm bài: - Trên sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng Với 4, học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình khơng chấm ... + Thay y = x + vào pt ban đầu giải phương trình tìm x = ± 1; từ tìm hai cặp số (x, y) thỏa mãn toán là: (-1 ; 0) (1; 2) KL nghiệm Câu 0.25 0.5 0.25 (4 điểm) Ta có x + y − 20( x + y ) + 2213 =