159 đề hsg toán 8 nho quan 2014 2015

UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI Năm học: 2014-2015 MƠN: TỐN LỚP ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (5,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a ) a  a  4a  b)2a  a 2b  ab  2b3  x   2x  A    : 2   x x  1  x x 1   Cho biểu thức : a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để bểu thức A nhận giá trị nguyên c) Tìm x để A  A 0 Câu (3,0 điểm) Giải phương trình sau: a) x   x  1  x  1  x   4 b) 15 x 12   1 x  3x  x  x  Câu (4,0 điểm) Cho a, b, c số hữu tỷ thỏa mãn điều kiện ab  bc  ac 1 Chứng minh Q  a  1  b  1  c  1 biểu thức bình phương số hữu tỷ 2 Giải phương trình nghiệm nguyên: x  xy  y  16 0 3 3 Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn  a  b    b  c    c  a  210 Tính giá trị biểu thức B  a  b  b  c  c  a Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC , M điểm thuộc cạnh BC ( M khác B, M khác C) Qua M kẻ đường thẳng song song với AC , AB chúng cắt AB, AC D E a) Chứng minh tứ giác ADME hình bình hành Xác định vị trí điểm M cạnh BC để hình bình hành ADME hình thoi b) Chứng minh BD.EC DM AE 2 c) Cho S BDM 9cm , SCME 16cm Tính S ABC (ký hiệu S diện tích tam giác) d) Chứng minh AM BC  AC.BM  AB.CM Câu (2,0 điểm) Cho số thực x thỏa mãn điều kiện x 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ x2  x2 P  2  x  x2 biểu thức ĐÁP ÁN Câu 2 1) a) a  a  4a  a  a  1   a  1  a  1  a    a   b)2a  7a 2b  ab  2b3 2  a  b   a  ab  b   7ab  a  b   a  b   2a  2b  5ab   a  b   2a  4ab  2b  ab   a  b   2a  a  2b   b  b  2a    a  b   2a  b   a  2b   x   2x  a) A    : 2   x x  1  x   x 1 2) x 1; x  ĐKXĐ:  x   x  x     x     x   x2   A    :     x x  1  x x  1  x      2x  x2     x2  2x  2x     x U (2)  1; 2 b) Để A nguyên  x *)1  x   x  ( ktm) *)1  x   x 1(ktm) *)1  x 1  x 0(tm) 1 *)1  x 2  x  (ktm) Vậy x 0 A nhận giá trị nguyên c) A  A 0  A  A  A 0   x    x    x  Đối chiếu với ĐKXĐ ta có x giá trị cần tìm Câu a) Nếu x 2 , phương trình cho trở thành  x    x  1  x  1  x   4   x  1  x   4  x  x 0  x 0(ktm)   x  x     x  5(tm)  x  5(ktm)  *) Nếu x  , phương trình cho trở thành   x   x  1  x  1  x   4   x    x  1  x  1  x    5    x  1  x     x  x  0   x    0(VN ) 2  Vậy  5 S b) ĐKXĐ: x  4; x 1 15 x 12 15 x 12       1 x2  3x  x  x   x    x  1 x  x   15 x 12  x  1   x    x  3x   x  x 0  x  x   0  x 0 (tm)   x  4(ktm) Vậy S  0 Câu 2 1) Vì ab  ac  bc 1 nên a  a  ab  bc  ca  a  b   a  c  c   b  c   c  a  Tương tự: b   a  b   b  c  Do đó: Q  a  1  b  1  c  1   a  b   b  c   c  a    dfcm 2 2 2) x  xy  y  16 0   x  y  16  y (1) 2 Từ  1 suy 16  y 0  y 16  y   0;4;9;16 *) y 0  y 0  x 4 *) y 4  y 2  x  (ktm) *) y 9  y 3  x  (ktm) *) y 16  y 4  x 8 Vậy phương trình cho có cặp nghiệm ngun  4;0  ;   4;0  ;  8;4  ;   8;   3) Đặt a  b x; b  c  y; c  a z  x  y  z 0  z   x  y  , Ta có: x3  y  z 210  x  y   x  y  210   3xy  x  y  210  xyz 210 3 3 3 Ta có: x  y  z 210  x  y   x  y  210   3xy  x  y  210 Do x, y , z la số nguyên có tổng xyz 70       nên  x; y; z   2;  5;7  A  a  b  b  c  c  a 14 Câu A D E B M C a) Ta có ME / / AB, MD / / AC ( gt ) nên tứ giác ADME hình bình hành  Để hình bình hành ADME hình thoi đường chéo AM phân giác DAE   M chân đường phân giác BAC     b) Xét BDM MEC có DBM EMC , DMB ECM (vì đồng vị) BD DM  BDM MEC ( g.g )    BD.EC DM ME ME EC c) Từ BDM MEC (cmt ) 2 S MB  MB     BDM       S MEC  MC    MC MB MB     MB  MC  BC S  MB    MD / / AC  BDM BAC  BDM     S BC    7 BAC Mặt khác 49  S BAC  49  cm  d) Theo chứng minh ADME hình bình hành  DM  AE ME CM ME / / AB    ME.CB  AB.CM (1) AB CB MD BM MD / / AC    MD.BC  AC.BM (2) AC BC Cộng vế theo vế (1) (2) ta được: BC  ME  MD  CM AB  AC BM  BC. ME  AE  CM AB  AC.BM Lại có  AM  ME  AE  BC AM  BC  ME  AE  CM AB  AC BM Câu Đặt x a,0 a 1 Biểu thức cho trở thành: a 1 a a 1 a 2   1  1     2  a 1 a  a 1 a  a 1 a     3 2   1 2   1    a 1  a    a 1  a   P 3   P 2   1 1 2  *) Vì a 1  a 0  a 1  Đẳng thức xảy   x 0 MinP 1   x 1  Vậy  x 0  x 1  a 1 nên a  a hai số không âm    a   a  1  P 2   1  a 1  a    4  2    Áp dụng BĐT Cô si ta có: Đẳng thức xảy a 1  a  a  1 x2   x  2 hay MaxP   x  Vậy