UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI Năm học: 2014-2015 MƠN: TỐN LỚP ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (5,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a ) a a 4a b)2a a 2b ab 2b3 x 2x A : 2 x x 1 x x 1 Cho biểu thức : a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để bểu thức A nhận giá trị nguyên c) Tìm x để A A 0 Câu (3,0 điểm) Giải phương trình sau: a) x x 1 x 1 x 4 b) 15 x 12 1 x 3x x x Câu (4,0 điểm) Cho a, b, c số hữu tỷ thỏa mãn điều kiện ab bc ac 1 Chứng minh Q a 1 b 1 c 1 biểu thức bình phương số hữu tỷ 2 Giải phương trình nghiệm nguyên: x xy y 16 0 3 3 Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn a b b c c a 210 Tính giá trị biểu thức B a b b c c a Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC , M điểm thuộc cạnh BC ( M khác B, M khác C) Qua M kẻ đường thẳng song song với AC , AB chúng cắt AB, AC D E a) Chứng minh tứ giác ADME hình bình hành Xác định vị trí điểm M cạnh BC để hình bình hành ADME hình thoi b) Chứng minh BD.EC DM AE 2 c) Cho S BDM 9cm , SCME 16cm Tính S ABC (ký hiệu S diện tích tam giác) d) Chứng minh AM BC AC.BM AB.CM Câu (2,0 điểm) Cho số thực x thỏa mãn điều kiện x 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ x2 x2 P 2 x x2 biểu thức ĐÁP ÁN Câu 2 1) a) a a 4a a a 1 a 1 a 1 a a b)2a 7a 2b ab 2b3 2 a b a ab b 7ab a b a b 2a 2b 5ab a b 2a 4ab 2b ab a b 2a a 2b b b 2a a b 2a b a 2b x 2x a) A : 2 x x 1 x x 1 2) x 1; x ĐKXĐ: x x x x x x2 A : x x 1 x x 1 x 2x x2 x2 2x 2x x U (2) 1; 2 b) Để A nguyên x *)1 x x ( ktm) *)1 x x 1(ktm) *)1 x 1 x 0(tm) 1 *)1 x 2 x (ktm) Vậy x 0 A nhận giá trị nguyên c) A A 0 A A A 0 x x x Đối chiếu với ĐKXĐ ta có x giá trị cần tìm Câu a) Nếu x 2 , phương trình cho trở thành x x 1 x 1 x 4 x 1 x 4 x x 0 x 0(ktm) x x x 5(tm) x 5(ktm) *) Nếu x , phương trình cho trở thành x x 1 x 1 x 4 x x 1 x 1 x 5 x 1 x x x 0 x 0(VN ) 2 Vậy 5 S b) ĐKXĐ: x 4; x 1 15 x 12 15 x 12 1 x2 3x x x x x 1 x x 15 x 12 x 1 x x 3x x x 0 x x 0 x 0 (tm) x 4(ktm) Vậy S 0 Câu 2 1) Vì ab ac bc 1 nên a a ab bc ca a b a c c b c c a Tương tự: b a b b c Do đó: Q a 1 b 1 c 1 a b b c c a dfcm 2 2 2) x xy y 16 0 x y 16 y (1) 2 Từ 1 suy 16 y 0 y 16 y 0;4;9;16 *) y 0 y 0 x 4 *) y 4 y 2 x (ktm) *) y 9 y 3 x (ktm) *) y 16 y 4 x 8 Vậy phương trình cho có cặp nghiệm ngun 4;0 ; 4;0 ; 8;4 ; 8; 3) Đặt a b x; b c y; c a z x y z 0 z x y , Ta có: x3 y z 210 x y x y 210 3xy x y 210 xyz 210 3 3 3 Ta có: x y z 210 x y x y 210 3xy x y 210 Do x, y , z la số nguyên có tổng xyz 70 nên x; y; z 2; 5;7 A a b b c c a 14 Câu A D E B M C a) Ta có ME / / AB, MD / / AC ( gt ) nên tứ giác ADME hình bình hành Để hình bình hành ADME hình thoi đường chéo AM phân giác DAE M chân đường phân giác BAC b) Xét BDM MEC có DBM EMC , DMB ECM (vì đồng vị) BD DM BDM MEC ( g.g ) BD.EC DM ME ME EC c) Từ BDM MEC (cmt ) 2 S MB MB BDM S MEC MC MC MB MB MB MC BC S MB MD / / AC BDM BAC BDM S BC 7 BAC Mặt khác 49 S BAC 49 cm d) Theo chứng minh ADME hình bình hành DM AE ME CM ME / / AB ME.CB AB.CM (1) AB CB MD BM MD / / AC MD.BC AC.BM (2) AC BC Cộng vế theo vế (1) (2) ta được: BC ME MD CM AB AC BM BC. ME AE CM AB AC.BM Lại có AM ME AE BC AM BC ME AE CM AB AC BM Câu Đặt x a,0 a 1 Biểu thức cho trở thành: a 1 a a 1 a 2 1 1 2 a 1 a a 1 a a 1 a 3 2 1 2 1 a 1 a a 1 a P 3 P 2 1 1 2 *) Vì a 1 a 0 a 1 Đẳng thức xảy x 0 MinP 1 x 1 Vậy x 0 x 1 a 1 nên a a hai số không âm a a 1 P 2 1 a 1 a 4 2 Áp dụng BĐT Cô si ta có: Đẳng thức xảy a 1 a a 1 x2 x 2 hay MaxP x Vậy