129 đề HSG toán 8 hoài nhơn 2012 2013

UBND HUYỆN HỒI NHƠN PHỊNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012-2013 Mơn: TỐN Bài (4 điểm) P  a 2013  a a) Cho a  a   Tính giá trị biểu thức 2 b) Cho hai số x, y thỏa mãn: x  x y  y  x  y  y   2013 2 Tính giá trị biểu thức Q  x  y Bài (5 điểm) x y a) Tìm tất cặp số tự nhiên  x; y  thỏa mãn:   624 b) Tìm tất cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn: 10 x  50 y  42 xy  14 x  y  57  Bài (4 điểm) a) Tìm số tự nhiên n cho số A  n  n  số phương b) Trong thi “Đố vui để học”, học sinh tham gia thi phải trả lời 10 câu hỏi Mỗi câu trả lời cộng điểm; ngược lại, câu trả lời sai bị trừ điểm Qua thi, học sinh đạt từ 30 điểm trở lên thưởng Hỏi: Mỗi học sinh thưởng phải trả lời câu hỏi Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC vng A có AM phân giác  M  BC  Đường thẳng qua M vng góc với BC cắt đường thẳng AB N Chứng minh MN  MC Bài (4 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh 20cm Trên cạnh CD lấy điểm M Đường thẳng vuông góc với BM M cắt AD N a) Cho MC  15cm Tính diện tích tam giác BMN b) Xác định vị trí M cạnh CD để ND có độ dài lớn ĐÁP ÁN Bài a  1  a  a  1   a    a   a  a   a  a) Từ với ta có: Ta lại có a 2013   a  P  a 2013  Do đó: 671 a 2013   a3  x2  x2 y  y   x2  671  a  671 11  2y   1  x  y2  (1) b) Từ x3  y  y    x3  1   y  1  1  x  1 (2) Từ (1) (2)  x  1  x  x2   y  y    y   y  2 Vậy Q  x  y    Bài x y x y a) Ta có:   624   624  (*) y +Xét x  0, ta có:  625  y  +Xét x  ¥ x  ta có VT(*) số chẵn vế phải (*) số lẻ, Vô lý Vậy  x; y    0;4  b) Ta có: 10 x  50 y  42 xy  14 x  y  57    x  42 xy  49 y    x  14 x  49    y  y       x  y    x     y  3   2   x  y    x     y  3  2  x  y      x     2 2  y  3  x  y  x   y  0 x , y ¢       Vì nên  x  7 2   x  y    x     y  3    y  Bài a) Giả sử A số phương, suy tồn số k  ¥ cho : n  n   k   n  n    4k   2k    2n  1  23   2k  2n  1  2k  2n  1  23 (*) Do k , n  ¥ nên dễ thấy 2k  n  2k  2n  số nguyên Ngoài 23  2k  2n   1;2k  2n   2k  2n  Suy  2k  2n   2k  2n  Căn lập luận 23 số nguyên tố nên từ (*) suy  2k  n    4n   22  n   k  n   23  2 Với n  A  36  số phương Vậy n  số tự nhiên cần tìm b) Gọi x số câu trả lời ( x nguyên  x  10) Số câu trả lời sai :10  x Số điểm cộng 5x Số điểm bị trừ 2. 10  x  Nếu thưởng phải đạt từ 30 điểm trở lên Nên ta có: x   10  x   30 Giải bất phương trình ta được: x  8(tm) Vậy để thưởng học sinh phải trả lời câu hỏi Bài Kẻ MH  AB H , MK  AC K  AHMK hình vng  MH  MK · · Ta có: MCA  MNA (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vng góc) (2) Từ (1) (2)  MHN  MKC  ch  cgv   MN  MC (1) Bài a) Hai tam giác vng BCM MDN có: · · · CBM  DMN (cùng phụ với BMC ) ND MD  (*) MC BC MC.MD 15. 20  15   ND    3,75  cm  BC 20  AN  AD  ND  20  3,75  16,25  cm   BCM : MDN  Ta có: SBMN  S ABCD  S BCM  S DMN  S ABN 1  202  20.15  5.3,75  20.16, 25  78,125(cm ) 2 b) Đặt MC  x   x  20  MC.MD x. 20  x  20 x  x  x  10   *  ND    5   BC 20 20 20 Từ  Độ dài ND lớn ND  5cm x  10 hay M trung điểm CD Vậy để độ dài ND lớn vị trí M trung điểm CD