UBND HUYỆN HỒI NHƠN PHỊNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012-2013 Mơn: TỐN Bài (4 điểm) P a 2013 2013 a a) Cho a a 0 Tính giá trị biểu thức 2 b) Cho hai số x, y thỏa mãn: x x y y 0 x y y 0 2 Tính giá trị biểu thức Q x y Bài (5 điểm) x y a) Tìm tất cặp số tự nhiên x; y thỏa mãn: 5 624 b) Tìm tất cặp số nguyên x; y thỏa mãn: 10 x 50 y 42 xy 14 x y 57 Bài (4 điểm) a) Tìm số tự nhiên n cho số A n n số phương b) Trong thi “Đố vui để học”, học sinh tham gia thi phải trả lời 10 câu hỏi Mỗi câu trả lời cộng điểm; ngược lại, câu trả lời sai bị trừ điểm Qua thi, học sinh đạt từ 30 điểm trở lên thưởng Hỏi: Mỗi học sinh thưởng phải trả lời câu hỏi Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC vng A có AM phân giác M BC Đường thẳng qua M vng góc với BC cắt đường thẳng AB N Chứng minh MN MC Bài (4 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh 20cm Trên cạnh CD lấy điểm M Đường thẳng vng góc với BM M cắt AD N a) Cho MC 15cm Tính diện tích tam giác BMN b) Xác định vị trí M cạnh CD để ND có độ dài lớn ĐÁP ÁN Bài a 1 a a 1 0 a 0 a 1 a a a a) Từ với ta có: Ta lại có a 2013 a P a 2013 Do đó: 671 a 2013 a x x y y 0 x b) Từ 671 671 a 1 2 2y 1 x 1 y2 1 (1) x3 y y 0 x3 y 1 x (2) Từ (1) (2) x x 1 x 1 y y 0 y 1 y 1 2 Vậy Q x y 1 2 Bài x y x y a) Ta có: 5 624 624 5 (*) y +Xét x 0, ta có: 625 y 4 +Xét x x ta có VT(*) số chẵn cịn vế phải (*) số lẻ, Vô lý Vậy x; y 0;4 b) Ta có: 10 x 50 y 42 xy 14 x y 57 x 42 xy 49 y x 14 x 49 y y 2 2 2 3x y x y 3 3x y x y 3 x y 0 x 0 2 2 y 3 0 x y x y 0 x , y Vì nên x 2 3x y x y 3 0 y 3 Bài a) Giả sử A số phương, suy tồn số k cho : n n k n n 4k 2 2k 2n 1 23 2k 2n 1 2k 2n 1 23 (*) Do k , n nên dễ thấy 2k n 2k 2n số nguyên Ngoài 23 2k 2n 1;2k 2n 2k 2n Suy 2k 2n 2k 2n Căn lập luận 23 số nguyên tố nên từ (*) suy 2k 2n 0 4n 22 n 5 2k 2n 23 Với n 5 A 36 6 số phương Vậy n 5 số tự nhiên cần tìm b) Gọi x số câu trả lời ( x nguyên x 10) Số câu trả lời sai :10 x Số điểm cộng 5x Số điểm bị trừ 2. 10 x Nếu thưởng phải đạt từ 30 điểm trở lên Nên ta có: x 10 x 30 Giải bất phương trình ta được: x 8(tm) Vậy để thưởng học sinh phải trả lời câu hỏi Bài N A K H B M Kẻ MH AB H , MK AC K AHMK hình vng MH MK Ta có: MCA MNA (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vng góc) (2) Từ (1) (2) MHN MKC ch cgv MN MC C (1) Bài A B N D M C a) Hai tam giác vng BCM MDN có: CBM DMN (cùng phụ với BMC ) ND MD (*) MC BC MC.MD 15. 20 15 ND 3,75 cm BC 20 AN AD ND 20 3,75 16,25 cm BCM MDN Ta có: SBMN S ABCD S BCM S DMN S ABN 202 1 20.15 5.3,75 20.16, 25 78,125( cm2 ) 2 b) Đặt MC x x 20 MC.MD x. 20 x 20 x x x 10 5 * ND 5 BC 20 20 20 Từ Độ dài ND lớn ND 5cm x 10 hay M trung điểm CD Vậy để độ dài ND lớn vị trí M trung điểm CD