129 đề hsg toán 8 hoài nhơn 2012 2013

UBND HUYỆN HỒI NHƠN PHỊNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012-2013 Mơn: TỐN Bài (4 điểm) P a 2013  2013 a a) Cho a  a  0 Tính giá trị biểu thức 2 b) Cho hai số x, y thỏa mãn: x  x y  y 0 x  y  y  0 2 Tính giá trị biểu thức Q x  y Bài (5 điểm) x y a) Tìm tất cặp số tự nhiên  x; y  thỏa mãn: 5  624 b) Tìm tất cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn: 10 x  50 y  42 xy  14 x  y  57  Bài (4 điểm) a) Tìm số tự nhiên n cho số A n  n  số phương b) Trong thi “Đố vui để học”, học sinh tham gia thi phải trả lời 10 câu hỏi Mỗi câu trả lời cộng điểm; ngược lại, câu trả lời sai bị trừ điểm Qua thi, học sinh đạt từ 30 điểm trở lên thưởng Hỏi: Mỗi học sinh thưởng phải trả lời câu hỏi Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC vng A có AM phân giác  M  BC  Đường thẳng qua M vng góc với BC cắt đường thẳng AB N Chứng minh MN MC Bài (4 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh 20cm Trên cạnh CD lấy điểm M Đường thẳng vng góc với BM M cắt AD N a) Cho MC 15cm Tính diện tích tam giác BMN b) Xác định vị trí M cạnh CD để ND có độ dài lớn ĐÁP ÁN Bài a  1  a  a  1 0  a  0  a 1  a  a   a  a) Từ với ta có: Ta lại có a 2013  a  P a 2013  Do đó: 671 a 2013  a  x  x y  y 0  x  b) Từ 671  671 a  1  2 2y 1   x 1 y2 1 (1) x3  y  y  0  x3    y  1   x  (2) Từ (1) (2)  x   x 1 x 1  y  y  0  y 1  y 1 2 Vậy Q x  y 1  2 Bài x y x y a) Ta có: 5  624   624 5 (*) y +Xét x 0, ta có: 625  y 4 +Xét x   x  ta có VT(*) số chẵn cịn vế phải (*) số lẻ, Vô lý Vậy  x; y   0;4  b) Ta có: 10 x  50 y  42 xy  14 x  y  57    x  42 xy  49 y    x  14 x  49    y  y     2 2 2   3x  y    x     y  3     3x  y    x     y  3   x  y  0    x   0  2 2  y  3 0 x  y  x   y  0 x , y        Vì nên  x  2   3x  y   x    y  3 0    y 3 Bài a) Giả sử A số phương, suy tồn số k   cho : n  n  k   n  n   4k 2   2k    2n  1 23   2k  2n  1  2k  2n  1 23 (*) Do k , n   nên dễ thấy 2k  n  2k  2n  số nguyên Ngoài 23  2k  2n  1;2k  2n   2k  2n  Suy 2k  2n   2k  2n  Căn lập luận 23 số nguyên tố nên từ (*) suy 2k  2n  0  4n  22  n 5  2k  2n  23 Với n 5 A 36 6 số phương Vậy n 5 số tự nhiên cần tìm b) Gọi x số câu trả lời ( x nguyên x 10) Số câu trả lời sai :10  x Số điểm cộng 5x Số điểm bị trừ 2. 10  x  Nếu thưởng phải đạt từ 30 điểm trở lên Nên ta có: x   10  x  30 Giải bất phương trình ta được: x 8(tm) Vậy để thưởng học sinh phải trả lời câu hỏi Bài N A K H B M Kẻ MH  AB H , MK  AC K  AHMK hình vng  MH MK   Ta có: MCA MNA (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vng góc) (2) Từ (1) (2)  MHN MKC  ch  cgv   MN MC C (1) Bài A B N D M C a) Hai tam giác vng BCM MDN có:    CBM DMN (cùng phụ với BMC ) ND MD  (*) MC BC MC.MD 15. 20  15   ND   3,75  cm  BC 20  AN  AD  ND 20  3,75 16,25  cm   BCM MDN  Ta có: SBMN S ABCD  S BCM  S DMN  S ABN 202  1 20.15  5.3,75  20.16, 25 78,125( cm2 ) 2 b) Đặt MC x  x 20  MC.MD x. 20  x  20 x  x  x  10  5 *  ND    5    BC 20 20 20 Từ  Độ dài ND lớn ND 5cm x 10 hay M trung điểm CD Vậy để độ dài ND lớn vị trí M trung điểm CD