Đang tải... (xem toàn văn)
UBND THỊ XÃ HOÀI NHƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HSG CẤP THỊ XÃ MÔN TOÁN NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (4,5 điểm) a) Cho là các số thực khác 0 thỏa và Tính giá trị biểu thức b) Cho số nguyên tố có ba[.]
UBND THỊ XÃ HỒI NHƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO _ĐỀ THI HSG CẤP THỊ XÃ MƠN TỐN _NĂM HỌC 2022-2023 Bài (4,5 điểm) 1 2 a) Cho x, y, z số thực khác thỏa x y z xyz x y z Tính giá trị 1 A x y z biểu thức b) Cho số nguyên tố có ba chữ số abc , chứng minh b 4ac khơng thể số phương c) Tìm cặp số nguyên dương x; y thỏa 3x y 6 x 13 Bài (4,5 điểm) a d 11 b3 5c a , b , c , d a) Cho số nguyên thỏa Chứng minh : M a b c d chia hết cho b) Tìm n N để B n n n số nguyên tố c) Cho đa thức f x ax bx c f f 0 với 2a b 0 Chứng minh Bài (4,0 điểm) a) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c 6 Tìm giá trị nhỏ biểu a3 b3 c3 A a b2 b2 c c a thức : 3x 2x 3 b) Giải phương trình : x x x x Bài (4,0 điểm) Cho tứ giác ABCD, đường thẳng qua A song song với BC cắt BD E, đường thẳng qua B song song với AD cắt AC F a) Chứng minh EF / /CD b) Giả sử AB / / CD, chứng minh AB CD.EF Bài (3,0 điểm) Cho ABC có B 2 ; C Đặt AB c, BC a, CA b a) Chứng minh b c c a b) Tính độ dài cạnh tam giác, biết số đo cạnh tam giác ba số tự nhiên liên tiếp ĐÁP ÁN Bài (4,5 điểm) 1 2 d) Cho x, y, z số thực khác thỏa x y z xyz x y z Tính giá trị 1 A x y z biểu thức Với x, y, z 0 Ta có : 1 1 1 1 1 1 1 2 4 x y z x y z x y z xy yz zx 1 1 1 x yz A 4 4 2 x y z xyz xy yz zx e) Cho số nguyên tố có ba chữ số abc , chứng minh b 4ac khơng thể số phương Giả sử b 4ac số phương, suy tồn số tự nhiên n cho b 4ac n 4ac b n Ta có : 4a.abc 4a 100a 10b c 400a 40ab 4ac 4a.abc 400a 40ab b n 20a b n (20a b n)(20a b n) 4a.abc 20a b n 20a b n Hay 2 Vì 4ac b n nên n b , : 20a b n 20a b n 20a 2b 100a 10 c abc 4a.abc 20a b n 20a b n Mặt khác abc số nguyên tố mà nên hai số 20a b n, 20a b n phải chia hết cho abc Điều vơ lý hai số nhỏ abc Vậy b 4ac số phương f) Tìm cặp số ngun dương x; y thỏa 3x y 6 x 13 Ta có 3x y 6 x 13 x x y 16 x 1 y 16 2 y 16 y 0;1; 4;9;16 y 0; 2; 4 y 1; 2 (do y nguyên dương) (do 2y chẵn dương) x 2 2 y 1 x 1 16 x 1 4 x *Với *Với x 3 x y 2 x 1 16 16 x 1 0 x 1 x 3; y 1 Vì x, y nguyên dương nên x 1; y 2 Bài (4,5 điểm) a d 11 b3 5c3 d) Cho a, b, c, d số nguyên thỏa Chứng minh : M a b c d chia hết cho Ta có a d 11 b3 5c3 a b3 c3 d 11b3 54c3 12b3 6 3 3 3 12b 54c 6 a b c d 6 54c 6 Lại có n n (n 1)n( n 1) Lập luận chứng minh n 1 n n 1 6 n n 6 n Z a a b3 b c c d d 6 a b3 c3 d a b c d 6 Kết hợp (1) (2) ta có điều phải chứng minh e) Tìm n N để B n n n số nguyên tố Phân tích B n3 n n n2 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 0( ktm) n 1 n 2 B 5 Lập luận có Vậy n 2 B =5 số nguyên tố f) Cho đa thức Xét đa thức f x ax bx c f x ax bx c, ta có : f f 0 với 2a b 0 Chứng minh f 3 a 3 b 3 c 9a 3b c f a.52 b.5 c 25a 5b c f f 3 16a 8b 8 2a b 0 f f 3 f 3 f f 3 0 Bài (4,0 điểm) c) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c 6 Tìm giá trị nhỏ a3 b3 c3 A a b2 b2 c c a biểu thức : 2 Chứng minh bất đẳng thức a b 2ab Dấu xảy a b a3 ab ab b a a a 2 2 a b 2ab Dấu xảy a b Ta có a b Chứng minh tương tự : b3 c c3 a b c 2 2 b c Dấu xảy b c ; a b Dấu xảy c a a3 b3 c3 a b c a b c A a b c 3 2 2 a b b c a c 2 2 2 a b c a b c 2 Dấu xảy a b c 6 Vậy Min A 3 a b c 2 3x 2x 3 d) Giải phương trình : x x x x 2 Điều kiện x R x x x x với x R Với x 0 3 (vô lý) 3x 2x 3 3 1 x x 1 x x 1 x 1 x 1 x x Với x 0 , ta có Đặt x 3 y y y y x Điều kiện Khi ta có phương trình y 1 y 1 3 y 1 y 1 y y 3 y y y 0 y 2 x x 2 x 1 y y 1 0 y x (VN ) x Vậy phương trình có nghiệm x 1 Bài (4,0 điểm) Cho tứ giác ABCD, đường thẳng qua A song song với BC cắt BD E, đường thẳng qua B song song với AD cắt AC F B A O E F D C c) Chứng minh EF / /CD Gọi O giao điểm AC BD OE OA 1 Áp dụng định lý Talet với OBC có AE / / BC nên OB OC OB OF 2 BF / / AD Tương tự với OAD có nên OD OA OE OF Nhân (1) (2) vế theo vế ta có : OD OC Theo định lý Talet đảo ta có EF / / CD d) Giả sử AB / /CD, chứng minh AB CD.EF AB OA 3 Áp dụng hệ Talet với ODC có AB / /CD nên DC OC Tương AB / / CD AB / / EF 1, , Kết hợp ta được: EF OE 4 AB OB AB EF AB CD.EF CD AB Bài (3,0 điểm) Cho ABC có B 2 ; C Đặt AB c, BC a, CA b A B 2α α C D b c c a c) Chứng minh Trên tia đối tia BA lấy D cho BD BC BDC cân B có ABC 2 góc ngồi nên BCD BDC ACD 2 Chứng minh ACD ∽ ABC ( g g ) AC AD AC AB AD AB AB BD AB AB BC b c (a c ) AB AC d) Tính độ dài cạnh tam giác, biết số đo cạnh tam giác ba số tự nhiên liên tiếp Theo kết câu a, ta có b c c a c ac b c Lại có a, b, c ba số tự nhiên liên tiếp nên b c b c 2 Với b c c 1 c ac c a 1 c 1; a 3; b 2(ktm) Với b c c c ac c a 4 c 1; 2; 4 Lập luận xác định a 5, b 6, c 4 thỏa mãn điều kiện đề (vì ko cạnh ) ... 3 b 3 c 9a 3b c f a.52 b.5 c 25a 5b c f f 3 16a 8b ? ?8 2a b 0 f f 3 f 3 f f 3 0 Bài (4,0 điểm) c) Cho... c ac c a 4 c 1; 2; 4 Lập luận xác định a 5, b 6, c 4 thỏa mãn điều kiện đề (vì ko cạnh )