184 đề hsg toán 8 hoài nhơn 22 23

UBND THỊ XÃ HỒI NHƠN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO _ĐỀ THI HSG CẤP THỊ XÃ MƠN TỐN _NĂM HỌC 2022-2023 Bài (4,5 điểm) 1   2 a) Cho x, y, z số thực khác thỏa x y z xyz  x  y  z Tính giá trị 1 A   x y z biểu thức b) Cho số nguyên tố có ba chữ số abc , chứng minh b  4ac khơng thể số phương c) Tìm cặp số nguyên dương  x; y  thỏa 3x  y 6 x 13 Bài (4,5 điểm) a  d 11 b3  5c  a , b , c , d a) Cho số nguyên thỏa Chứng minh : M a  b  c  d chia hết cho b) Tìm n  N để B n  n  n  số nguyên tố c) Cho đa thức f  x  ax  bx  c f  f 0 với 2a  b 0 Chứng minh     Bài (4,0 điểm) a) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c 6 Tìm giá trị nhỏ biểu a3 b3 c3 A   a  b2 b2  c c  a thức : 3x 2x  3 b) Giải phương trình : x  x  x  x  Bài (4,0 điểm) Cho tứ giác ABCD, đường thẳng qua A song song với BC cắt BD E, đường thẳng qua B song song với AD cắt AC F a) Chứng minh EF / /CD b) Giả sử AB / / CD, chứng minh AB CD.EF Bài (3,0 điểm) Cho ABC có B 2 ; C  Đặt AB c, BC a, CA b a) Chứng minh b c  c  a  b) Tính độ dài cạnh tam giác, biết số đo cạnh tam giác ba số tự nhiên liên tiếp ĐÁP ÁN Bài (4,5 điểm) 1   2 d) Cho x, y, z số thực khác thỏa x y z xyz  x  y  z Tính giá trị 1 A   x y z biểu thức Với x, y, z 0 Ta có :  1 1  1 1 1 1 1   2              4 x y z x y z  x y z  xy yz zx   1 1 1 x yz  A    4      4  2 x y z xyz  xy yz zx  e) Cho số nguyên tố có ba chữ số abc , chứng minh b  4ac khơng thể số phương Giả sử b  4ac số phương, suy tồn số tự nhiên n cho b  4ac n  4ac b  n Ta có : 4a.abc 4a  100a  10b  c  400a  40ab  4ac  4a.abc 400a  40ab  b  n  20a  b   n (20a  b  n)(20a  b  n) 4a.abc  20a  b  n 20a  b  n    Hay 2 Vì 4ac b  n nên n  b , : 20a  b  n  20a  b  n  20a  2b  100a  10  c abc 4a.abc  20a  b  n   20a  b  n  Mặt khác abc số nguyên tố mà nên hai số 20a  b  n, 20a  b  n phải chia hết cho abc Điều vơ lý hai số nhỏ abc Vậy b  4ac số phương f) Tìm cặp số ngun dương  x; y  thỏa 3x  y 6 x 13 Ta có 3x  y 6 x  13  x  x   y 16   x  1   y  16 2   y  16   y    0;1; 4;9;16  y   0; 2; 4  y   1; 2 (do y nguyên dương) (do 2y chẵn dương)  x  2 2 y 1   x  1  16   x  1 4    x    *Với *Với  x 3  x   y 2   x  1  16 16   x  1 0  x 1  x 3; y 1  Vì x, y nguyên dương nên  x 1; y 2 Bài (4,5 điểm) a  d 11 b3  5c3  d) Cho a, b, c, d số nguyên thỏa Chứng minh : M a  b  c  d chia hết cho Ta có a  d 11 b3  5c3   a  b3  c3  d 11b3  54c3 12b3 6  3 3 3    12b  54c  6   a  b  c  d  6 54c 6  Lại có n  n (n  1)n( n  1) Lập luận chứng minh  n  1 n  n  1 6  n  n  6  n  Z     a  a    b3  b    c  c    d  d   6    a  b3  c3  d    a  b  c  d   6   Kết hợp (1) (2) ta có điều phải chứng minh e) Tìm n  N để B n  n  n  số nguyên tố Phân tích B n3  n  n  n2  n  1   n  1  n  1  n  1  n  1  n 0( ktm)    n  1  n 2  B 5  Lập luận có Vậy n 2 B =5 số nguyên tố f) Cho đa thức Xét đa thức f  x  ax  bx  c f  x  ax  bx  c, ta có : f  f 0 với 2a  b 0 Chứng minh     f   3 a   3  b   3  c 9a  3b  c f   a.52  b.5  c 25a  5b  c  f    f   3 16a  8b 8  2a  b  0  f    f   3  f   3 f    f   3  0 Bài (4,0 điểm) c) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c 6 Tìm giá trị nhỏ a3 b3 c3 A   a  b2 b2  c c  a biểu thức : 2 Chứng minh bất đẳng thức a  b 2ab Dấu xảy a b a3 ab ab b  a   a  a  2 2 a b 2ab Dấu xảy a b Ta có a  b Chứng minh tương tự : b3 c c3 a  b  c  2 2 b c Dấu xảy b c ; a  b Dấu xảy c a a3 b3 c3  a b c  a b c  A   a  b  c        3 2 2 a b b c a c 2  2 2 a b c  a b c 2  Dấu xảy a  b  c 6 Vậy Min A 3  a b c 2 3x 2x  3 d) Giải phương trình : x  x  x  x  2 Điều kiện x  R x  x   x  x   với x  R Với x 0  3 (vô lý) 3x 2x  3   3 1 x  x 1 x  x 1 x 1  x  1 x x Với x 0 , ta có Đặt x  3  y y  y  y  x Điều kiện Khi ta có phương trình   y  1   y  1 3  y  1  y  1  y   y  3 y   y  y  0   y 2  x  x 2  x 1   y    y  1 0    y   x   (VN )  x Vậy phương trình có nghiệm x 1 Bài (4,0 điểm) Cho tứ giác ABCD, đường thẳng qua A song song với BC cắt BD E, đường thẳng qua B song song với AD cắt AC F B A O E F D C c) Chứng minh EF / /CD Gọi O giao điểm AC BD OE OA   1 Áp dụng định lý Talet với OBC có AE / / BC nên OB OC OB OF   2 BF / / AD Tương tự với OAD có nên OD OA OE OF  Nhân (1) (2) vế theo vế ta có : OD OC Theo định lý Talet đảo ta có EF / / CD d) Giả sử AB / /CD, chứng minh AB CD.EF AB OA   3 Áp dụng hệ Talet với ODC có AB / /CD nên DC OC Tương AB / / CD  AB / / EF  1, , Kết hợp       ta được: EF OE   4 AB OB AB EF   AB CD.EF CD AB Bài (3,0 điểm) Cho ABC có B 2 ; C  Đặt AB c, BC a, CA b A B 2α α C D b c c  a   c) Chứng minh Trên tia đối tia BA lấy D cho BD BC  BDC cân B có ABC 2 góc ngồi nên BCD BDC   ACD 2 Chứng minh ACD ∽ ABC ( g g )  AC AD   AC  AB AD  AB  AB  BD   AB  AB  BC   b c (a  c ) AB AC d) Tính độ dài cạnh tam giác, biết số đo cạnh tam giác ba số tự nhiên liên tiếp Theo kết câu a, ta có b c  c  a  c  ac  b  c Lại có a, b, c ba số tự nhiên liên tiếp nên b c  b c  2 Với b c    c  1 c  ac  c  a   1  c 1; a 3; b 2(ktm) Với b c    c   c  ac  c  a   4  c   1; 2; 4 Lập luận xác định a 5, b 6, c 4 thỏa mãn điều kiện đề (vì ko cạnh )