PHÒNG GD&ĐT YÊN THÀNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2022 2023 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1 (3,0 điểm) Cho biểu thức a Rút gọn biểu thức b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Bài 2 (5,[.]
PHỊNG GD&ĐT N THÀNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TOÁN LỚP NĂM HỌC: 2022-2023 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (3,0 điểm) Cho biểu thức: x 1 x2 x2 x A : x x x x x 1 x a Rút gọn biểu thức A b Tìm giá trị lớn biểu thức A Bài 2: (5,0 điểm) a Giải phương trình: x x x 0 1 1 b Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x y z 2 c Tìm số nguyên x để đa thức x x x chia hết cho đa thức x Bài 3: (4,0 điểm) a Cho a, b, c ba số khác thỏa mãn: a b c 0 Tính giá trị biểu thức a a2 b2 c c2 a b2 P 2 c b c a c a b2 b Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh 2 rằng: a b c 2abc Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo AC BD cắt O Gọi N E trung điểm AD AB Nối NE cắt AC I Tia BI cắt ON F Điểm M di động đoạn BD Kẻ MH vng góc với BC ( H BC ), MK vng góc với CD ( K CD ) a Chứng minh: Tứ giác OAFD hình thoi b Chứng minh: BH HC CK KD BM MD BH HC CK KD c Xác định vị trí điểm M BD để lớn Bài 5: (2,0 điểm) Tìm tất ba số nguyên a, b, c thỏa mãn: a b c b3 c a c a b 20202019 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (3,0 điểm) Cho biểu thức: x 1 x2 x2 x A : x x x x x 1 x a Rút gọn biểu thức A b Tìm giá trị lớn biểu thức A Lời giải a) ĐKXĐ: x 0, x 1 x x 1 x2 x2 x A : x x x x2 x 1 x x 1 x 1 x x x x 1 : x x 1 x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x2 Vậy với x 0, x 1 x b) Ta có A A A x x2 x x2 x 1 x x 4x x2 x 2 0 x2 A 0 (với x thuộc ĐKXĐ ) A Dấu " " xảy x 2 (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy GTLN biểu thức A x 2 Bài 2: (5,0 điểm) a Giải phương trình: x x x 0 1 1 x y z b Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 2 c Tìm số nguyên x để đa thức x x x chia hết cho đa thức x Lời giải a Giải phương trình: x x x 0 x x x 0 x x x x x 0 x x x x x 0 x x 1 x x 1 x 1 0 x 1 x3 x x 0 x 1 x x x 0 x 0 x 0 x x 0 Phương trình x x 0 vô nghiệm x 1 x Vậy tập nghiệm phương trình S 1; 2 1 1 x y z b Tìm nghiệm ngun dương phương trình: Khơng tính tổng quát giả sử x y z *) Khi x 1 khơng tìm giá trị y ,z 1 x y *) Khi x=2 +) y 2 khơng tìm z +) y 3 ta có z 6 +) y 4 ta có z 4 +) y 5 mà y z z 5 Khơng có giá trị y, z thỏa mãn *) Khi x 3 1 y z +) y 3 thay vào ta z 3 +) y 4 z 4 1 1 1 1 x y z 4 4 Khơng tìm giá trị x, y, z thỏa mãn 2;3; , 2; 4; , 3;3;3 Vậy cặp số x; y; z thỏa mãn yêu cầu đề hoán vị cặp số 2 c Tìm số nguyên x để đa thức x x x chia hết cho đa thức x x3 x 5x 4x x 2 x 1 x 1 x 3 x 1 Để x nguyên thỏa mãn yêu cầu đề 4x x x x 1 4 0 x2 1 x 1 Ta có x 4x x2 1 4x x2 x x 2 0 x2 1 x 1 Ta có x Do 4x 1 x2 1 4 4x 1 x 3 x giá trị biểu thức x 1 Để 4x 4; 3; 2; 1;0;1 x2 1 Giải ta x 0 x 2 Vậy x 0 x 2 giá trị cần tìm Bài 3: (4,0 điểm) a Cho a, b, c ba số khác thỏa mãn: a b c 0 Tính giá trị biểu thức a a2 b2 c c2 a b2 P 2 c b c a c a b2 b Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi 2 Chứng minh rằng: a b c 2abc Lời giải: a Với a, b, c 0 thỏa mãn: a b c 0 a b c, b c a a a b2 c2 c2 a b2 P 2 c b c a c2 a b2 a a b a b c c2 a2 b2 c a c2 b2 a b2 c2 a a b c c c a b c b c a c a c b c a b c a a c a c b a.c a c b Vậy P b Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi 2 Chứng minh rằng: a b c 2abc Ta có c a b 2c a b c 2c c c Chứng minh tương tự a 0,1 b Do 1 a b 1 c a b c ab bc ac abc a b c ab bc ac 2abc 1 Ta có a b c a b c ab ac bc 22 a b c ab ac bc ab ac bc 4 a b c Thay vào biểu thức (1) ta a b c ab bc ac 2abc 2.2 a b c 2abc a b c 2abc (dpcm) Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo AC BD cắt O Gọi N E trung điểm AD AB Nối NE cắt AC I Tia BI cắt ON F Điểm M di động đoạn BD Kẻ MH vng góc với BC ( H BC ), MK vng góc với CD ( K CD ) a Chứng minh: Tứ giác OAFD hình thoi b Chứng minh: BH HC CK KD BM MD BH HC CK KD c Xác định vị trí điểm M BD để lớn Lời giải E A F B I N M D O H C K a Gợi ý: - Chứng minh tứ giác OAFD hình bình hành có hai đường chéo cắt trung điểm đường - Chứng minh AD OF b Chứng minh: BH HC CK KD BM MD 2 Xét tam giác vuông BDC ta có BD DC BC (định lý Pytago) Do MD MB 2 KD KC HB HC MD MB 2MD.MB KD KC HB HC 2DK KC HB.HC dễ dàng chứng minh MD DK HC MB HB KC Do BH HC CK KD BM MD c Để BH HC CK KD MB.MD lớn MD MB MB.MD Mà lớn BD dấu "=" xảy MB MD M O Bài 5: (2,0 điểm) Tìm tất ba số nguyên a, b, c thỏa mãn: a b c b3 c a c a b 20202019 Lời giải a b c b3 c a c3 a b 20202019 a b c b3 c b b a c a b 20202019 a b c b3 c b b3 b a c a b 2020 2019 b c a b3 a b b3 c 20202019 a b b c a ab b b bc c 20202019 a b b c a c ab bc 20202019 a b b c a c ab bc 20202019 a b b c c a a b c 20202019 * Nếu a, b, c có hai số chia cho có số dư a b3 b c 3 c a 3 * Nếu a, b, c chia cho có số dư khác a b c 3 Do a b b c c a a b c 3 a, b, c Z 2019 mà 2020 không chia hết 2020 không chia hết cho Do khơng tồn a, b, c Z thỏa mãn yêu cầu toán = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = ... mãn yêu cầu đề hoán vị cặp số 2 c Tìm số nguyên x để đa thức x x x chia hết cho đa thức x x3 x 5x 4x x 2 x 1 x 1 x 3 x 1 Để x nguyên thỏa mãn yêu cầu đề 4x x... (5,0 điểm) a Giải phương trình: x x x 0 1 1 x y z b Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 2 c Tìm số nguyên x để đa thức x x x chia hết cho đa thức x Lời giải a Giải phương... nghiệm x 1 x Vậy tập nghiệm phương trình S 1; 2 1 1 x y z b Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: Khơng tính tổng qt giả sử x y z *) Khi x 1 khơng tìm giá trị y ,z