1. Trang chủ
  2. » Tất cả

059 đề hsg toán 8 yên thành 22 23

7 48 0

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 7
Dung lượng 280,75 KB

Nội dung

PHÒNG GD&ĐT YÊN THÀNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2022 2023 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1 (3,0 điểm) Cho biểu thức a Rút gọn biểu thức b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Bài 2 (5,[.]

PHỊNG GD&ĐT N THÀNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TOÁN LỚP NĂM HỌC: 2022-2023 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (3,0 điểm) Cho biểu thức:  x 1 x2   x2  x A    :  x x  x  x  x 1  x a Rút gọn biểu thức A b Tìm giá trị lớn biểu thức A Bài 2: (5,0 điểm) a Giải phương trình: x  x  x  0 1   1 b Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x y z 2 c Tìm số nguyên x để đa thức x  x  x  chia hết cho đa thức x  Bài 3: (4,0 điểm) a Cho a, b, c ba số khác thỏa mãn: a  b  c 0 Tính giá trị biểu thức a a2  b2  c c2  a  b2 P 2 c b  c  a c  a  b2 b Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh 2 rằng: a  b  c  2abc  Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo AC BD cắt O Gọi N E trung điểm AD AB Nối NE cắt AC I Tia BI cắt ON F Điểm M di động đoạn BD Kẻ MH vng góc với BC ( H  BC ), MK vng góc với CD ( K  CD ) a Chứng minh: Tứ giác OAFD hình thoi b Chứng minh: BH HC  CK KD BM MD BH HC  CK KD  c Xác định vị trí điểm M BD để  lớn Bài 5: (2,0 điểm) Tìm tất ba số nguyên a, b, c thỏa mãn: a  b  c   b3  c  a   c  a  b  20202019 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (3,0 điểm) Cho biểu thức:  x 1 x2   x2  x A    :   x x  x  x  x 1  x a Rút gọn biểu thức A b Tìm giá trị lớn biểu thức A Lời giải a) ĐKXĐ: x 0, x 1 x   x 1 x2   x2  x A    :   x x  x  x2  x 1  x x  1  x  1  x  x  x  x  1   : x  x  1  x  1 x   x  1  x  x  1 x  x  1  x x2 Vậy với x 0, x 1 x  b) Ta có A A A x x2 x x2 x 1   x  x  4x   x2   x  2  0 x2  A 0 (với x thuộc ĐKXĐ )  A Dấu " " xảy x 2 (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy GTLN biểu thức A x 2 Bài 2: (5,0 điểm) a Giải phương trình: x  x  x  0 1   1 x y z b Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 2 c Tìm số nguyên x để đa thức x  x  x  chia hết cho đa thức x  Lời giải a Giải phương trình: x  x  x  0 x  x  x  0  x  x  x  x  x  0  x  x  x  x  x  0  x  x  1  x  x  1   x  1 0   x  1  x3  x  x   0   x  1  x    x  x   0  x  0    x  0  x  x  0 Phương trình x  x  0 vô nghiệm  x 1   x  Vậy tập nghiệm phương trình S  1;  2 1   1 x y z b Tìm nghiệm ngun dương phương trình: Khơng tính tổng quát giả sử x  y z *) Khi x 1  khơng tìm giá trị y ,z 1   x y  *) Khi x=2 +) y 2 khơng tìm z +) y 3 ta có z 6 +) y 4 ta có z 4 +) y 5 mà y  z  z 5 Khơng có giá trị y, z thỏa mãn *) Khi x 3  1   y z +) y 3 thay vào ta z 3 +) y 4  z 4   1 1 1       1 x y z 4 4 Khơng tìm giá trị x, y, z thỏa mãn 2;3;  ,  2; 4;  ,  3;3;3  Vậy cặp số x; y; z thỏa mãn yêu cầu đề  hoán vị cặp số 2 c Tìm số nguyên x để đa thức x  x  x  chia hết cho đa thức x  x3  x  5x  4x  x   2 x 1 x 1  x  3  x 1 Để x nguyên thỏa mãn yêu cầu đề 4x  x  x   x  1 4   0 x2 1 x 1 Ta có x   4x   x2 1 4x   x2  x    x  2    0 x2 1 x 1 Ta có x   Do 4x  1 x2 1 4 4x  1  x  3  x  giá trị biểu thức x 1 Để   4x     4;  3;  2;  1;0;1 x2 1 Giải ta x 0 x 2 Vậy x 0 x 2 giá trị cần tìm Bài 3: (4,0 điểm) a Cho a, b, c ba số khác thỏa mãn: a  b  c 0 Tính giá trị biểu thức a a2  b2  c c2  a  b2 P 2 c b  c  a c  a  b2 b Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi 2 Chứng minh rằng: a  b  c  2abc  Lời giải: a Với a, b, c 0 thỏa mãn: a  b  c 0  a  b  c, b  c  a a a  b2  c2 c2  a  b2 P 2 c b  c  a c2  a  b2 a  a  b   a  b   c c2  a2  b2  c a  c2  b2 a  b2  c2 a  a  b   c  c  c a   b  c  b  c a   c   a  c  b  c a   b  c  a  a   c   a  c  b  a.c  a  c  b   Vậy P  b Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi 2 Chứng minh rằng: a  b  c  2abc  Ta có c  a  b  2c  a  b  c  2c   c    c  Chứng minh tương tự  a  0,1  b  Do 1  a    b 1  c      a  b  c   ab  bc  ac  abc     a  b  c    ab  bc  ac   2abc   1 Ta có  a  b  c a  b  c   ab  ac  bc   22 a  b  c   ab  ac  bc    ab  ac  bc  4   a  b  c  Thay vào biểu thức (1) ta   a  b  c    ab  bc  ac   2abc    2.2    a  b  c   2abc    a  b  c   2abc  (dpcm) Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo AC BD cắt O Gọi N E trung điểm AD AB Nối NE cắt AC I Tia BI cắt ON F Điểm M di động đoạn BD Kẻ MH vng góc với BC ( H  BC ), MK vng góc với CD ( K  CD ) a Chứng minh: Tứ giác OAFD hình thoi b Chứng minh: BH HC  CK KD BM MD BH HC  CK KD  c Xác định vị trí điểm M BD để  lớn Lời giải E A F B I N M D O H C K a Gợi ý: - Chứng minh tứ giác OAFD hình bình hành có hai đường chéo cắt trung điểm đường - Chứng minh AD  OF b Chứng minh: BH HC  CK KD BM MD 2 Xét tam giác vuông BDC ta có BD DC  BC (định lý Pytago) Do  MD  MB  2  KD  KC    HB  HC   MD  MB  2MD.MB KD  KC  HB  HC  2DK KC  HB.HC dễ dàng chứng minh MD DK  HC MB HB  KC Do BH HC  CK KD BM MD c Để  BH HC  CK KD   MB.MD lớn  MD  MB  MB.MD  Mà lớn BD  dấu "=" xảy MB MD  M O Bài 5: (2,0 điểm) Tìm tất ba số nguyên a, b, c thỏa mãn: a  b  c   b3  c  a   c  a  b  20202019 Lời giải a  b  c   b3  c  a   c3  a  b  20202019  a  b  c   b3  c  b  b  a   c  a  b  20202019  a  b  c   b3  c  b   b3  b  a   c  a  b  2020 2019   b  c   a  b3    a  b   b3  c  20202019   a  b   b  c   a  ab  b  b  bc  c  20202019   a  b   b  c   a  c  ab  bc  20202019   a  b   b  c   a  c  ab  bc  20202019   a  b   b  c   c  a   a  b  c  20202019 * Nếu a, b, c có hai số chia cho có số dư a  b3 b  c 3 c  a 3 * Nếu a, b, c chia cho có số dư khác a  b  c 3 Do  a  b   b  c   c  a   a  b  c  3 a, b, c  Z 2019 mà 2020 không chia hết 2020 không chia hết cho Do khơng tồn a, b, c  Z thỏa mãn yêu cầu toán = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = ... mãn yêu cầu đề  hoán vị cặp số 2 c Tìm số nguyên x để đa thức x  x  x  chia hết cho đa thức x  x3  x  5x  4x  x   2 x 1 x 1  x  3  x 1 Để x nguyên thỏa mãn yêu cầu đề 4x  x... (5,0 điểm) a Giải phương trình: x  x  x  0 1   1 x y z b Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 2 c Tìm số nguyên x để đa thức x  x  x  chia hết cho đa thức x  Lời giải a Giải phương... nghiệm  x 1   x  Vậy tập nghiệm phương trình S  1;  2 1   1 x y z b Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: Khơng tính tổng qt giả sử x  y z *) Khi x 1  khơng tìm giá trị y ,z

Ngày đăng: 25/02/2023, 22:29

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w