101 đề hsg toán 8 yên dũng 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN YÊN DŨNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA TOÁN 8 – NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (5,0 điểm) 1) Cho biểu thức a) Rút gọn M b) Tìm giá trị nguyên của để M nhận giá trị nguyên[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN YÊN DŨNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA TỐN – NĂM HỌC 2022-2023 Bài (5,0 điểm)  x2   10  x   x 0  M    : x       x    x 2   x  x  3x x    1) Cho biểu thức a) Rút gọn M b) Tìm giá trị nguyên x để M nhận giá trị nguyên 2 3 2) Cho a  3ab 5 b  3a b 10 Tính S 2020a  2020b Bài (4,0 điểm) 1) Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức n  2n  2n  số nguyên tố 2) Chứng minh n (n  7)  36n chia hết cho 5040 với số tự nhiên n Bài (4,0 điểm) 1) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x  3x  x y  y  2) Tìm số dư phép chia  x  3  x  5  x    x    2035 cho x  12 x  30 Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A, E điểm thuộc cạnh AB( E khác A B) Ở phía ngồi tam giác ABC vẽ hình vng AEDQ Đường thẳng QE cắt BC I 1) Chứng minh CE vng góc với BQ 2) Gọi K điểm đối xứng với D qua I Tính diện tích tứ giác ACKB biết AB 8cm 3) Gọi S giao điểm CE với QB Chứng minh ba điểm D, S , I thẳng hàng Bài (1,0 điểm) Cho hai số dương x, y thỏa mãn x  y 1 Tính giá trị nhỏ biểu thức A  x y xy ĐÁP ÁN Bài (5,0 điểm)  x2   10  x   x 0  M    : x       x    x 2   x  x  3x x    3) Cho biểu thức c) Rút gọn M Điều kiện x 0; x 2  x2   10  x   x 0  M    : x       x    x 2   x  x  3x x     x  x   10  x    : x  x  2  x x  x2       x  2  x  x  6 x2 1  :    x  2  x  2 x   x  2  x  2 x  d) Tìm giá trị nguyên x để M nhận giá trị nguyên  x 3(tm)  Z    x   U (1)   1;1    x 1(tm) Để M nhận giá trị nguyên  x x   1;3 Vậy với M nhận giá trị nguyên a  ab 5 b3  3a 2b 10 Tính S 2020a  2020b Ta có : 4) Cho )a  3ab 5   a  3ab  25  a  6a 4b  9a 2b 25 )b3  3a 2b 10   b3  3a 2b  100  b  6b a  9a 4b 100  125 a  b  3a 2b  3a 4b  125  a  b   a  b 5  S 2020  a  b  2020.5 10100 Bài (4,0 điểm) 3) Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức n  2n  2n  số nguyên tố   Ta có Với n số tự nhiên ta có n  2 Để giá trị biểu thức n  2n  2n  số nguyên tố n  1  n 3 Thử lại n 3 thỏa mãn toán n  2n  n   n   n   4) Chứng minh n (n  7)  36n chia hết cho 5040 với số tự nhiên n 2 n3  n    36n n  n  n    36  n  n  n2      n  n        n  3  n    n  1 n  n  1  n    n   Lập luận để tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 5040 Bài (4,0 điểm) 3) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x  3x  x y  y  x3  3x x y  y   y  Ta có : Ta thấy yZ  x3  3x  x  y x  2 x 2 x 2 x Z x2    x    x     x    x    x     x   27   x    27 x     x     3;9; 27 (do x  2)  x; y      1;3 ;  5;5  x  3  x    x    x    2035 4) Tìm số dư phép chia  cho Xét trường hợp ta cặp số nguyên x  12 x  30 Ta có :  x  3  x  5  x    x    2035  x  12 x  27   x  12 x  35   2035 Đặt x  12 x  30 t ,  x  3  x    x    x    2035  t  3  t    2035 t  2t  15  2035 t  t    2020 Do  x  3  x  5  x    x    2035  x  12 x  30   x  12 x  32   2020 x  x  x  x   2035     Vậy số dư phép chia  cho x  12 x  30 2020 Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A, E điểm thuộc cạnh AB ( E khác A B) Ở phía ngồi tam giác ABC vẽ hình vng AEDQ Đường thẳng QE cắt BC I B K I D P S E Q A C 4) Chứng minh CE vng góc với BQ Xét tam giác QIC có C Q 45  QIC vng I Chứng minh E trực tâm tam giác QBC Suy CE  BQ 5) Gọi K điểm đối xứng với D qua I Tính diện tích tứ giác ACKB biết AB 8cm Gọi O giao điểm QE với AD, P giao điểm AK với BC Lập luận IO / / AK mà QE  DA  AK  DA Vì DAE 45  PAB 45 Suy AP đường phân giác tam giác cân ABC Suy P trung điểm đoạn thẳng BC Xét tam giác AKD có I trung điểm đoạn thẳng DK Lập luận IP / / AD (vì vng góc với AK ) Suy P trung điểm đoạn thẳng AK Lập luận ACKB hình vng Suy diện tích ACKB 64cm 6) Gọi S giao điểm CE với QB Chứng minh ba điểm D, S , I thẳng hàng B K I P S D E O Q C A Lập luận SO trung tuyến tam giác vuông ESQ 1 SO  QE  AD  QE  AD  2 Suy Do tam giác ASD vng S Suy DSA 90 Chứng minh tương tự KSA 90  DSA  KSA 90  90 180 Suy ba điểm D, S , I thẳng hàng Bài (1,0 điểm) Cho hai số dương x, y thỏa mãn x  y 1 Tính giá trị nhỏ biểu thức A  x y xy 1   Vì a, b  ta chứng minh a b a  b A 1   x y xy xy Ta có : 2 1 4     1 2 x y xy x  y  xy  x  y  2  x  y 4 xy  Mà 1     2 xy  x  y  xy  x  y  A Từ (1) (2) suy  x  y Vậy Min A 10  x  y 0, 10   10 2  x  y  x  y ... ta có n  2 Để giá trị biểu thức n  2n  2n  số nguyên tố n  1  n 3 Thử lại n 3 thỏa mãn toán n  2n  n   n   n   4) Chứng minh n (n  7)  36n chia hết cho 5040 với số tự nhiên