098 đề hsg toán 8 yên định 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN ĐỊNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức b) Tìm để P có giá trị nguyên c) Tìm để Bài 2 (4,0 điểm) a)[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN ĐỊNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP _ NĂM HỌC 2022-2023 1 2x  x 1  1 x P    1 :  x  3x x  x  x Bài 1.(4,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x  Z để P có giá trị nguyên c) Tìm x để P 1 Bài (4,0 điểm) 1 1    a) Giải phương trình x  x  20 x 11x  30 x 13 x  42 48 1 1 1 M  2019  2019  2019    a b c b) Cho a  b  c 2019 a b c 2019 Tính giá trị Bài (4,0 điểm) n    36 a) Tìm số tự nhiên n để  số nguyên tố b) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn y  xy  3x  0 Bài (6,0 điểm) Cho O trung điểm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng có bờ cạnh AB vẽ tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), kẻ đường trung tuyến BD đường cao AM ABC Đường thẳng DM cắt By E a) Chứng minh MC.MB MA DOE vuông b) Kẻ MH vng góc với AB H Gọi I giao điểm MH với BD Chứng minh A, I , E thẳng hàng c) Gọi P, Q điểm đối xứng H qua AM BM Tìm vị trí điểm C để diện tích APEB lớn a  b  c   a  b  c  4 Bài (2,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  a  b Chứng minh   bc   b  c  ac   a  c 3 ĐÁP ÁN 1 2x  x 1  1 x P    1 :  x  3x x  x  x Bài 1.(4,0 điểm) Cho biểu thức d) Rút gọn biểu thức P 1  1 2x  x 1   x  x 0; x   a) P    1 :   3x  3x x  3x  x  x 1    x 1  1 x  1 2x  2x 2x  2x    1 :    1   1  1 x x   3x( x  1) 3x  x  1  x  x 3x   x e) Tìm x  Z để P có giá trị ngun Ta có : P 2x 2  x x P nguyên   x  1  U    1; 2  x   2;0;3;  1 Kết hợp với ĐKXĐ ta có x   2;3 x  2;3   P nguyên Vậy với f) Tìm x để P 1 2x 2x x  x 1 x 1 1   0  0  0 x x x x   x  0   x    x   x 1      x    x  0   x      x     x  P 1   x     x 0; x  Kết hợp với điều kiện ta có :  x     x 0; x  Vậy với P 1 Bài (4,0 điểm) 1 1    a) Giải phương trình x  x  20 x  11x  30 x  13x  42 48 a)  1 1  x  4; x        x  x  20 x  11x  30 x  13 x  42 18  x  6; x     x    x  5  x  5  x    1   x    x   18 1 1 1       x  x  x  x  x  x  18 1     18  x    18  x    x    x   x  x  18  x  13  x  11x  26 0   x  13  x   0   (tmdk )  x 2  Vậy phương trình có tập nghiệm S   13; 2 1 1 1 M  2019  2019  2019    a b c b) Cho a  b  c 2019 a b c 2019 Tính giá trị 1 1    Ta có a  b  c 2019 a b c 2019 bc  ca  ab  1 1   a  b  c      1   a  b  c  1 abc a b c   a  b  c   bc  ca  ab  abc  abc  a 2c  a 2b  b 2c  abc  ab  bc  ac abc  a  b  c   bc  b  c   ab  b  c   ac  b  c  0   b  c   a  bc  ab  ac  0  b  c   b  c   a  a  b   c  a  b   0   b  c   a  b   a  c  0   a  b  a  c 1 0  2019 2019 20192019 1 )a  b  c 2019  M  0  2019 2019 20192019 1 )a  c  b 2019  M  0  2019 2019 20192019 M 20192019 Vậy )b  c  a 2019  M  Bài (4,0 điểm) n a) Tìm số tự nhiên n để  Đặt 2    36 A  n    36 n  16n  100 số nguyên tố 2  n  20n  100   36n  n  10    6n   n  6n  10   n  6n  10  2 Vì n    n  6n  10  n  6n  10 n  6n  10 1   n  3 0  n 3 Để A nguyên tố Với n 3 ta có A 37 số nguyên tố n    36  n  Vậy số nguyên tố b) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn y  xy  x  0 y  xy  3x  0  y  xy  x   x  3x   0   x  y    x  1  x   0   x  1  x    x  y   x     x   Vì x  1; x  hai số nguyên liên tiếp x; y  ( y  1) 0  y 1    y   0  y 2  1;1 ,  2;  thỏa mãn     Vậy cặp  Bài (6,0 điểm) Cho O trung điểm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng có bờ cạnh AB vẽ tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), kẻ đường trung tuyến BD đường cao AM ABC Đường thẳng DM cắt By E C Q E M D I P A H O B d) Chứng minh MC.MB MA DOE vuông Xét MCA MAB có : CMA AMB 90 , C1 A1 (cùng phụ với A2 ) MC MA   MA2 MC MB MA MB Xét MCA vng A có MD trung tuyến nên MD DA Chứng minh tương tự ta có MO OA  MCA ∽ MAB( g , g )   DOA DMO(c.c.c)  DMO DAO 90 Suy tứ giác ADMO nội tiếp nên MDO MAO Tương tự ta có MEO MBA  MDO  MEO MAO  MBA  MDO  MEO 90  DOE vuông O e) Kẻ MH vng góc với AB H Gọi I giao điểm MH với BD Chứng minh A, I , E thẳng hàng Ta có MH / / AC (cùng  AB ) MI IB HI IB   Suy CD BD DA BD (Theo Talet)  MI IH  DC AD mà CD  AD  MI IH  I trung điểm MH  1 I1 AE MH Gọi giao điểm ME HB  IB  MI1 ME HI1 HB      AD DE DA AB mà DE AB  BD  MI1 HI1    MI1  HI1  I1 MH   DA AD trung điểm  Từ (1) (2)  I trùng I1 hay A, I , E thẳng hàng f) Gọi P, Q điểm đối xứng H qua AM BM Tìm vị trí điểm C để diện tích APEB lớn a  b  c   a  b  c  4 Bài (2,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  bc  ac    3 2  a  b  b  c   a  c  Chứng minh Ta có : a  b  c   a  b  c  4   a  b  c  ab  bc  ca  4  a  b  c  ab  bc  ca 2  a  b  c  3ab  bc  ca  a  b   b  c  c  a    a  b  a  b  a  b  a  b  a  b   a  c  ; 2ac  1   a  b   b  c  2bc  1      2 2 b  c b  c a  c a  c     Chứng minh tương tự :  2ab    b  c  (c  a ) 1  Từ (1), (2), (3)  ab   a  b   a  c    a  b  (b  c)   b  c   a  c  bc  ac    2   3  2 2 2  b  c   a  c    b  c  a  c  a  b   a  b  3  2  b  c   a  c   a  b  2  b  c  a  c  a  b 6  ab   a  b  bc   b  c  ac   a  c 3