PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN ĐỊNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức b) Tìm để P có giá trị nguyên c) Tìm để Bài 2 (4,0 điểm) a)[.]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN ĐỊNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP _ NĂM HỌC 2022-2023 1 2x x 1 1 x P 1 : x 3x x x x Bài 1.(4,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x Z để P có giá trị nguyên c) Tìm x để P 1 Bài (4,0 điểm) 1 1 a) Giải phương trình x x 20 x 11x 30 x 13 x 42 48 1 1 1 M 2019 2019 2019 a b c b) Cho a b c 2019 a b c 2019 Tính giá trị Bài (4,0 điểm) n 36 a) Tìm số tự nhiên n để số nguyên tố b) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn y xy 3x 0 Bài (6,0 điểm) Cho O trung điểm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng có bờ cạnh AB vẽ tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), kẻ đường trung tuyến BD đường cao AM ABC Đường thẳng DM cắt By E a) Chứng minh MC.MB MA DOE vuông b) Kẻ MH vng góc với AB H Gọi I giao điểm MH với BD Chứng minh A, I , E thẳng hàng c) Gọi P, Q điểm đối xứng H qua AM BM Tìm vị trí điểm C để diện tích APEB lớn a b c a b c 4 Bài (2,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab a b Chứng minh bc b c ac a c 3 ĐÁP ÁN 1 2x x 1 1 x P 1 : x 3x x x x Bài 1.(4,0 điểm) Cho biểu thức d) Rút gọn biểu thức P 1 1 2x x 1 x x 0; x a) P 1 : 3x 3x x 3x x x 1 x 1 1 x 1 2x 2x 2x 2x 1 : 1 1 1 x x 3x( x 1) 3x x 1 x x 3x x e) Tìm x Z để P có giá trị ngun Ta có : P 2x 2 x x P nguyên x 1 U 1; 2 x 2;0;3; 1 Kết hợp với ĐKXĐ ta có x 2;3 x 2;3 P nguyên Vậy với f) Tìm x để P 1 2x 2x x x 1 x 1 1 0 0 0 x x x x x 0 x x x 1 x x 0 x x x P 1 x x 0; x Kết hợp với điều kiện ta có : x x 0; x Vậy với P 1 Bài (4,0 điểm) 1 1 a) Giải phương trình x x 20 x 11x 30 x 13x 42 48 a) 1 1 x 4; x x x 20 x 11x 30 x 13 x 42 18 x 6; x x x 5 x 5 x 1 x x 18 1 1 1 x x x x x x 18 1 18 x 18 x x x x x 18 x 13 x 11x 26 0 x 13 x 0 (tmdk ) x 2 Vậy phương trình có tập nghiệm S 13; 2 1 1 1 M 2019 2019 2019 a b c b) Cho a b c 2019 a b c 2019 Tính giá trị 1 1 Ta có a b c 2019 a b c 2019 bc ca ab 1 1 a b c 1 a b c 1 abc a b c a b c bc ca ab abc abc a 2c a 2b b 2c abc ab bc ac abc a b c bc b c ab b c ac b c 0 b c a bc ab ac 0 b c b c a a b c a b 0 b c a b a c 0 a b a c 1 0 2019 2019 20192019 1 )a b c 2019 M 0 2019 2019 20192019 1 )a c b 2019 M 0 2019 2019 20192019 M 20192019 Vậy )b c a 2019 M Bài (4,0 điểm) n a) Tìm số tự nhiên n để Đặt 2 36 A n 36 n 16n 100 số nguyên tố 2 n 20n 100 36n n 10 6n n 6n 10 n 6n 10 2 Vì n n 6n 10 n 6n 10 n 6n 10 1 n 3 0 n 3 Để A nguyên tố Với n 3 ta có A 37 số nguyên tố n 36 n Vậy số nguyên tố b) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn y xy x 0 y xy 3x 0 y xy x x 3x 0 x y x 1 x 0 x 1 x x y x x Vì x 1; x hai số nguyên liên tiếp x; y ( y 1) 0 y 1 y 0 y 2 1;1 , 2; thỏa mãn Vậy cặp Bài (6,0 điểm) Cho O trung điểm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng có bờ cạnh AB vẽ tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), kẻ đường trung tuyến BD đường cao AM ABC Đường thẳng DM cắt By E C Q E M D I P A H O B d) Chứng minh MC.MB MA DOE vuông Xét MCA MAB có : CMA AMB 90 , C1 A1 (cùng phụ với A2 ) MC MA MA2 MC MB MA MB Xét MCA vng A có MD trung tuyến nên MD DA Chứng minh tương tự ta có MO OA MCA ∽ MAB( g , g ) DOA DMO(c.c.c) DMO DAO 90 Suy tứ giác ADMO nội tiếp nên MDO MAO Tương tự ta có MEO MBA MDO MEO MAO MBA MDO MEO 90 DOE vuông O e) Kẻ MH vng góc với AB H Gọi I giao điểm MH với BD Chứng minh A, I , E thẳng hàng Ta có MH / / AC (cùng AB ) MI IB HI IB Suy CD BD DA BD (Theo Talet) MI IH DC AD mà CD AD MI IH I trung điểm MH 1 I1 AE MH Gọi giao điểm ME HB IB MI1 ME HI1 HB AD DE DA AB mà DE AB BD MI1 HI1 MI1 HI1 I1 MH DA AD trung điểm Từ (1) (2) I trùng I1 hay A, I , E thẳng hàng f) Gọi P, Q điểm đối xứng H qua AM BM Tìm vị trí điểm C để diện tích APEB lớn a b c a b c 4 Bài (2,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab bc ac 3 2 a b b c a c Chứng minh Ta có : a b c a b c 4 a b c ab bc ca 4 a b c ab bc ca 2 a b c 3ab bc ca a b b c c a a b a b a b a b a b a c ; 2ac 1 a b b c 2bc 1 2 2 b c b c a c a c Chứng minh tương tự : 2ab b c (c a ) 1 Từ (1), (2), (3) ab a b a c a b (b c) b c a c bc ac 2 3 2 2 2 b c a c b c a c a b a b 3 2 b c a c a b 2 b c a c a b 6 ab a b bc b c ac a c 3