Thông tin tài liệu
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN N MƠ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015 – 2016 MƠN TỐN Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) (Đề gồm 05 câu, 01 trang) (ĐỀ CHÍNH THỨC) Câu (4,0 điểm): Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a, x( x + 2)( x + x + 2) + b, x + 2016 x + 2015 x + 2016 Câu (3,5 điểm): a, Cho a +b +c ≠ a + b + c = 3abc Tính N = 3 a 2016 + b 2016 + c 2016 ( a + b + c) 2016 b, Tìm số tự nhiên n để n + 4n + 2013 số phương Câu (4,5 điểm): Giải phương trình sau: a, x − = (2 x + 3)( x + 5) + 23 b, 1 1 + + = x + x + 20 x + 11x + 30 x + 13 x + 42 18 Câu (6,0 điểm): Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N a, Chứng minh OM = ON b, Chứng minh 1 + = AB CD MN c, Biết SAOB= 20152 (đơn vị diện tích); SCOD= 20162 (đơn vị diện tích) Tính SABCD Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c lµ số dơng Chứng minh bất đẳng thức: a+b+c a2 b2 c2 ≥ + + b+c c+a a+b -Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN YÊN MÔ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 Mơn : Tốn lớp (Hướng dẫn chấm gồm trang) Câu Tóm tắt đáp án Điểm 0,5 a) x( x + 2)( x + x + 2) + = ( x + x)( x + x + 2) + 2 = ( x + x ) + 2( x + x) + = ( x + x + 1) Câu (4,0đ) 0,5 0,5 = ( x + 1) b) x + 2016 x + 2015 x + 2016 = x − x + 2016( x + x + 1) = x( x3 − 1) + 2016( x + x + 1) = x( x − 1)( x + x + 1) + 2016( x + x + 1) = ( x + x + 1) [ x( x − 1) + 2016] 2 = ( x + x + 1)( x − x + 2016] Câu a) a3 + b3 + c3 = 3abc (3,5đ) ⇒ a3 + b3 + c3 − 3abc = 4 2 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ⇒ a + b3 + 3ab(a + b) + c − 3ab(a + b) − 3abc = ⇒ ( a + b ) + c − 3ab(a + b + c) = ⇒ (a + b + c)(a + 2ab + b − ac − bc + c ) − 3ab(a + b + c) = 0,5 ⇒ (a + b + c)(a + b + c − ab − ac − bc) = 2 ⇒ a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc = ( a +b +c ≠ 0) ⇒ 2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2ac –2bc = ⇒ (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = Vì (a – b)2 ≥ ∀ a, b; (b – c)2 ≥ ∀ b,c; (c – a)2 ≥ ∀ a, c Nên (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ≥ ∀ a, b,c ; Do (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = ∀ a, b,c Khi a – b = b – c = c – a =0 ⇒a = b = c Mà a +b +c ≠ ⇒ a = b = c ≠ (*) Thay (*) vào N ta có: N = 0,5 0,5 a 2016 + a 2016 + a 2016 = 3a 2016 3a 2016 = = 2015 2016 (3a ) 0,5 ( a + a + a) ( 3a ) 2 b) Giả sử n + 4n + 2013 = m , ( m ∈ ¥ ) 2 Suy ( n + ) + 2009 = m ⇔ m2 − ( n + ) = 2009 ⇔ ( m + n + ) ( m − n − ) = 2009 0,5 Mặt khác 2009 = 2009.1 = 287.7 = 49.41 m + n + > m − n − nên có trường hợp sau xảy ra: 0,5 2016 2016 m + n + = 2009 m = 1005 ⇔ m − n − = n = 1002 TH1: m + n + = 287 m = 147 ⇔ m − n − = n = 138 m + n + = 49 m = 45 ⇔ TH3: m − n − = 41 n = 0,5 TH2: Vậy số cần tìm là: 1002; 138; Câu (4,5đ) a) x2-2=(2x+3)(x+5)+23 ⇔x2-25=(2x+3)(x+5) ⇔(x-5)(x+5)=(2x+3)(x+5) ⇔(x-5)(x+5)-(2x+3)(x+5)=0 ⇔(x+5) [x-5 –(2x+3)] = ⇔(x+5)(-x-8)=0 ⇔ x-5=0 x+8 =0 ⇔ x=-5 x=-8 b)Ph¬ng trình đợc biến đổi thành: (Với ĐKXĐ: { x −4; −5; −6; −7} ) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1 1 + + = ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18 1 1 1 ⇒( − − − )+( )+( )= x+4 x+5 x+5 x+6 x+6 x+7 18 1 = ⇒ ⇒ (x + 4)(x +7) = 54 − x+4 x+7 18 ⇒ (x + 13)(x – 2) = ⇒ x = -13 hc x = (Tháa m·n 0,5 0,5 0,5 0,5 §KX§) VËy nghiệm phơng trình là: S = { 13; 2} Câu (6đ) B A M O N C D a)( 2,0 điểm) OM OD = , AB BD OD OC = Lập luận để có DB AC OM ON ⇒ ⇒ OM = ON = AB AB Lập luận để có ON OC = AB AC b)( 2,0 điểm) OM DM = Xét ∆ABD để có AB AD 0,75 0,75 0,5 0,75 OM AM = (1), xét ∆ADC để có (2) DC AD 1 AM + DM AD + = =1 )= AB CD AD AD 1 ) =1 Chứng minh tương tự ON ( + AB CD 1 1 )=2 ⇒ + = từ có (OM + ON) ( + AB CD AB CD MN Từ (1) (2) ⇒ OM.( 0,75 0,5 c)( 2,0 điểm) Từ ΔCBH : ΔEAH ( cmt) 2 SΔCBH SΔCBH BC BC = ⇒ = (gt) ⇒ ÷ = nên BC2 = (2AE)2 ÷ , mà S SΔEAH AE ΔEAH AE ⇒ BC = 2AE ⇒ E trung điểm AB, F trung điểm AD Chứng minh S AOD = S BOC ⇒ S AOB S DOC = ( S AOD ) áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số 0,5 0,5 b+c a a b+c ≥ + b+c b+c 0,5 b+c a2 , b+c không âm ta có : =2 a =a b+c a2 ≥ a4 b+c Câu (2đ) T¬ng tù 0,5 Thay số để có 20152.20162 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2015.2016 Do SABCD= 20152 + 2.2015.2016 + 20162 = (2015 + 2016)2 = 40312 (đơn vị DT) Suy 0,5 0,5 a+c b2 ≥ b4 c+a a+b c2 ≥ c4 a+b 0,5 Céng vÕ theo vÕ ba bất đẳng thức ta đợc : a+b+c a+b+c a2 b2 c2 ≥ (a+b+c)+ + = 2 b+c c+a a+b VËy a+b+c a2 b2 c2 ≥ + + b+c c+a a+b (®pcm) Lưu ý: - Học sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa - Bài hình khơng có hình vẽ khơng chấm - Tổng điểm cho điểm lẻ đến 0,25đ (ví dụ : 13,25đ ; 14,5đ; 16,75đ) 0,5 ... b+c a2 ≥ a4 b+c Câu (2đ) T¬ng tù 0,5 Thay số để có 20152 .20162 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2015. 2016 Do SABCD= 20152 + 2 .2015. 2016 + 20162 = (2015 + 2016) 2 = 40312 (đơn vị DT) Suy 0,5 0,5 a+c b2 ≥ b4... + 2016 x + 2015 x + 2016 = x − x + 2016( x + x + 1) = x( x3 − 1) + 2016( x + x + 1) = x( x − 1)( x + x + 1) + 2016( x + x + 1) = ( x + x + 1) [ x( x − 1) + 2016] 2 = ( x + x + 1)( x − x + 2016] ... = c Mà a +b +c ≠ ⇒ a = b = c ≠ (*) Thay (*) vào N ta có: N = 0,5 0,5 a 2016 + a 2016 + a 2016 = 3a 2016 3a 2016 = = 2015 2016 (3a ) 0,5 ( a + a + a) ( 3a ) 2 b) Giả sử n + 4n + 2013 = m , ( m
Ngày đăng: 31/10/2022, 05:51
Xem thêm:
