136 đề HSG toán 8 thái thụy 2015 2016

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI THỤY ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC : 2015—2016 Môn: Toán Bài (4,0 điểm) x5  x  x  x  x  P  x  8x3  Cho biểu thức : a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P  Bài (4,0 điểm) a) Cho số a, b, c, d nguyên dương đôi khác thỏa mãn: 2a  b 2b  c 2c  d 2d  a     ab bc cd d a Chứng minh A  abcd số phương 2 b) Tìm a nguyên để a  2a  7a  chia hết cho a  Bài (3,0 điểm) A   x  1  x  1  x  3x  1  2017 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2 b) Tìm a nguyên để a  2a  7a  chia hết cho a  Bài (3,0 điểm) 3 a) Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn a  b  c  3abc Chứng minh tam giác b) Cho x, y, z dương x  y  z  Chứng minh : 1   9 x  yz y  xz z  xy Bài (5,0 điểm) Cho O trung điểm đoạn AB Trên nửa mặt phẳng có bờ cạnh AB vẽ tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By D a) Chứng minh AB  AC.BD b) Kẻ OM  CD M Chứng minh AC  CM c) Từ M kẻ MH vng góc với AB H Chứng minh BC qua trung điểm MH d) Tìm vị trí C tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ Bài (1,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 2016 x y 2015    2 x  y y  2015 4031 x  2016 ĐÁP ÁN Bài x5  x  x  x  x  a) P   4x2  8x3   x  x  1 x  x  1   x  1    x  1  x  1  x  1  x  x  1 x   1  x  1  x  1  x  1  x4  x4     2x  2x  2x  2x  x4  P 2x  Vậy x b) ĐK: x 1 P6   x   12 x  2x   x  x   x  12 x    x     x  3  x   x  (1) hoac x   2 x  Ta có  1  x  x     x  1  x 1  x 1   (tmdk )  x     x   2    x  x   4   x  1  S  1 Vậy Bài   4(VN ) (2) 2a  b 2b  c 2c  d 2d  a    6 ab bc cd d a a b c d 1 1 1 1 6 ab bc cd d a a b c d     2 ab bc cd d a a b c d 1  1  0 ab bc cd d a b b d d     0 ab bc cd d a b c  a d  a  c   0  a  b  b  c  c  d   d  a  a)  b c  d   d  a  d  a  b  b  c   abc  acd  bd  b d    b  d   ac  bd     b  d   ac  bd    ac  bd   ac  bd A  abcd  ac   Vậy số phương 2 b) Thực phép chia a  2a  7a  cho a  kết quả: a3  2a  a    a  3  a     4a  1 Để phép chia hết 4a  phải chia hết cho a   4a  1 M a  3   4a  1  4a  1 M  a   ( a  ¢  4a   ¢ )   16a  1 M  a  3  49M  a  3 Tìm a, thử lại kết luận a   2;2 Bài a) A   x  1  x  1  x  x  1  2017   x  3x  1  x  3x  1  2017   x  3x    2017   x  x   2016  2016 2 x   x  3x   x  x  3    x   Dấu "  " xảy x  Amin  2016   x   Vậy 2 x 1  x 1   x2 b)    12     (*)  x2 x4  x4 x 1 x2 x 1 a  b  ab  x4 Đặt x  x  Phương trình (*) trở thành: a  ab  12b   a  3b   a  3b   a  4b      a  4b x 1 x2    x  1  x     x   (VN ) x4 +Nếu a  3b x   x  3(tm) x 1 x2  4   x  1  x    4  x      x  (tm) x2 x4  +Nếu a  4b  4 S  3;   5 Vậy Bài a  b3  c3  3abc   a  b  c   a  b  c  ab  bc  ca  a) C/m: a  b  c   a  b  c  ab  bc  ca    +)Từ giả thiết suy :  a  b2  c  ab  ac  bc  (a  b  c  0) Biến đổi kết quả:  a  b    b  c   c  a  2 a  b   b  c   a  b  c   c  a  Tam giác (đpcm) 2 b) Đặt a  x  yz; b  y  xz; c  z  xy  a, b, c  a  b  c   x  y  z    a  b  c   1 1    a b c Chứng minh: 1 1 1    9(dfcm)     9 x  yz y  zx z  xy a b c abc hay Bài OAC : DBO ( g g )  OA AC   OA.OB  AC.BD DB OB a) Chứng minh AB AB   AC.BD  AB  AC.BD 2 OAC : DBO( g  g )  b) Theo câu a ta có: OC AC OC OD OA  OB     OD OA AC OA Mà (dfcm) OC AC  OD OB · · +) Chứng minh : OAC : DOC  c.g c   ACO  OCM +)Chứng minh : OAC  OMC (ch  gn)  AC  MC (dfcm) c) Ta có OAC  OMC  OA  OM ; CA  CM  OC trung trực AM  OC  AM , Mặt khác OA  OM  OB  AMB vuông M  OC / / BM (vì vng góc với AM) hay OC / / BI +)Xét ABI có OM qua trung điểm AB, song song BI suy OM qua trung điểm AI  IC  AC MK BK KH   IC BC AC MH / / AI +) theo hệ định lý ta let ta có: Mà IC  AC  MK  HK  BC qua trung điểm MH (dfcm) d) Tứ giác ABCD hình thang vng  S ABDC   AC  BD  AB AC , BD  , nên theo BĐT Cơ si ta có: Ta thấy AB AC  BD  AC.BD   AB  S ABDC  AB AB  AC  BD   OA Dấu "  " xảy Vậy C thuộc tia Ax cách điểm A đoạn OA Bài +) Với a, b, c, d dương, ta có: a b c d    bc cd d a a b c   b d  a d  a  c b  c b a  b  d  c  d   a          b  c  d  a  c  d   a  b bc d a cd ab F 2 2 a  c  ad  bc b  d  ab  cd  a  b  c  d  ab  ad  bc  cd     1 2 a  b  c  d    b  c  d  a  c  d  a  b   4 xy   x  y  ) (theo bất đẳng thức Mặt khác: 2  a  b  c  d  ab  ad  bc  cd    a  b  c  d   a  b  c  d  2ac  2bd   a  c    b  d   Suy F  đẳng thức xảy  a  c; b  d +)Áp dụng F  với a  2016, b  x, c  y, d  2015 ta có: 2016 x y 2015    2 x  y y  2015 4031 x  2016 Đẳng thức xảy  y  2016, x  2015