PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THAN UYÊN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2022 2023 MÔN TOÁN LỚP 8 Bài 1 (4 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức Q b) Tính giá trị của Q khi biết thỏa mãn Bài 2 ([.]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THAN UYÊN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2022-2023 MƠN TỐN LỚP x xy x x xy y y2 Q : x y x3 y3 x y x y xy x y Bài (4 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức Q 2 b) Tính giá trị Q biết x, y thỏa mãn x y x y 0 Bài (5 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A 4 x x x 10 x 12 3x 2 b) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn : x x y 1 c) Đa thức f x f x chia cho x dư chia cho x dư x Tìm phần dư chia x 1 x 1 cho Bài (3,0 điểm) x 241 x 220 x 195 x 166 10 19 21 23 a) Giải phương trình : 17 3 b) Cho a b c 3abc abc 0 a b c M b c a Tính giá trị biểu thức Bài (6,0 điểm) ABCD AB a Có AC cắt BD O Lấy M điểm thuộc 4.1) Cho hình vuông cạnh BC (M khác B, C) Tia AM cắt đường thẳng CD N Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE CM Chứng minh a) OEM vuông cân b) ME / / BN c) Xác định vị trí điểm M BC để diện tích tam giác MOE nhỏ Tìm giá trị nhỏ 4.2) Cho điểm O thuộc miền tam giác ABC Các tia AO, BO, CO cắt cạnh tam giác ABC theo thứ tự D, E , K Chứng minh : OA OB OC 2 AD BE CK Bài (2 điểm) Cho a, b a b 1 Tính giá trị nhỏ biểu thức : P 2 1 a b 2ab ĐÁP ÁN x xy x x xy y y2 Q : x y x y3 x y x y xy x y Bài (4 điểm) Cho biểu thức c) Rút gọn biểu thức Q x xy x x xy y y2 Q x y : x y x y xy x y x y x y x y x x y 2x x y x y x y y x y 2 x y x x y x x y y.x x x y 4y 2y x y x y 4y 2 d) Tính giá trị Q biết x, y thỏa mãn x y x y 0 Ta có : 2 x y x y 0 x 1 y 1 0 1 x 1 0 x 0 1 y y Vì Bài (5 điểm) x Q y 1 d) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A 4 x x x 10 x 12 3x A 4 x x x 10 x 12 3x 4 x 17 x 60 x 16 x 60 x 2 Đặt x 16 x 60 t A 4 t x t 3x 4t 4tx 3x 4t 4tx x x 2t x x 2t x x 2t x x 2t x 2t 3x x 31x 120 x 35 x 120 Vậy A x 31x 120 x 35 x 120 2 e) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn : x x y 1 Ta có : x y y 1 x x y 5 x y 5 x y x y 5 Vì x, y ngun x y, x y thuộc tập hợp ước x y 1 2 x 6 x 1 x y 5 2 x 6 x 1 Th1: Th : x y 5 x y 5 y 2 x y 1 x y 1 y x y x x x y 2 x x Th3 : Th4 : x y x y y x y x y y 2 f) Đa thức f x Ta có cho f x chia cho x dư chia cho x dư x Tìm phần dư chia x 1 x 1 f x x 1 A x 1 ; f x x 1 B x x f x x 1 x 1 C x ax bx c 3 x 1 x 1 C x a x 1 bx c a x 1 C x x 1 a bx c a b 2 5 c a Từ (1) (2) suy x 1 f x Cho Từ 3 f 1 a b c a b c 4 a c 6 c ,a 2 Từ (5) (6) suy f x Vậy chia Bài (3,0 điểm) x 1 x 1 dư cho x 2x 2 x 241 x 220 x 195 x 166 10 19 21 23 c) Giải phương trình : 17 x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23 x 241 x 220 x 195 x 166 1 2 3 10 17 19 21 23 x 258 x 258 x 258 x 258 0 17 19 21 23 1 1 1 1 x 258 0 x 258 0 17 19 21 23 17 19 21 23 3 abc d) Cho a b c 3abc a b c M b c a Tính giá trị biểu thức a b3 c 3abc a b3 c 3abc 0 a b 3ab a b c 3abc 0 3 a b c 3ab a b c 0 a b c 3c a b a b c 3ab a b c 0 a b c a b c 3ac 3bc 3ab 0 a b c a b c ab bc ca 0 a b c 0 2 a b c ab bc ca 0 Th1: a b c 0 a b c, b c a , a c b a b c a b b c c a c a b M M 1 abc 0 b c a b c a b c a 2 Th : a b c ab bc ca 0 a b b c c a 0 a b c M 8 Bài (6,0 điểm) ABCD AB a Có AC cắt BD O Lấy M điểm 4.1) Cho hình vng thuộc cạnh BC (M khác B, C) Tia AM cắt đường thẳng CD N Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE CM Chứng minh A E B O K M D a) OEM vng cân C N Vì ABCD hình vng nên ta có OB OC , EB MC , B1 C1 45 OEB OMC c.g c OE OM , O1 O3 Lại có O2 O3 BOC 90 (vì ABCD hình vng) O2 O1 EOM 90 Kết hợp với OE OM OEM vuông cân O b) ME / / BN Từ gt ABCD hình vng nên ta có : AB CD AB / /CD AM BM ) AB / / CD AB / / CN MN MC (Định lý Talet) (1) AM AE BE CM gt Mà AB CD AE BM Thay vào (1) ta có : MN EB ME / / BN (Định lý Talet đảo) c) Xác định vị trí điểm M BC để diện tích tam giác MOE nhỏ Tìm giá trị nhỏ 1 OK BC OM OK SOEM OM OE OM OK 2 2 Kẻ Dấu xảy M trùng với trung điểm K cạnh BC, diện tích tam giác a2 S OK OME có giá trị nhỏ 4.2) Cho điểm O thuộc miền tam giác ABC Các tia AO, BO, CO cắt cạnh tam giác ABC theo thứ tự D, E , K Chứng minh : OA OB OC 2 AD BE CK A E K S2 S3 O B S1 C D Gọi S diện tích ABC , S1 , S2 , S3 theo thứ tự diện tích OBC , OAC , OAB hình vẽ Ta có : S S S3 OA S 1 OD SODC SODB S1 OD SODC SODB SODC SODB S1 2 AD S ADC S ADB S ADC S ADB S OA S S3 S Từ (1) (2) suy AD OD OE OK S1 S S3 OA OB OC S S3 S1 S3 S1 S2 1 2 AD BE CK S S S AD BE CK S S S Do Bài (2 điểm) Cho a, b a b 1 Tính giá trị nhỏ biểu thức : P 2 1 a b 2ab Vì a, b a b 1 Áp dụng bất đẳng thức Cơ si , ta có : 1 26 52 9 a b 2 ab ab 9 2ab Áp dụng bất đẳng thức Swatch, ta có : 2 1 1 16 16 1 3 52 20 2 2 1 a b 2ab a b 2ab a b 1 P Dấu xảy a b ... 17 19 21 23 x 2 58 x 2 58 x 2 58 x 2 58 0 17 19 21 23 1 1 1 1 x 2 58 0 x 2 58 0 17 19 21 23 17 19 21 23 3 abc d) Cho... cho x 2x 2 x 241 x 220 x 195 x 166 10 19 21 23 c) Giải phương trình : 17 x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23 x 241 x 220 x 195 x 166... x 35 x 120 2 e) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn : x x y 1 Ta có : x y y 1 x x y 5 x y 5 x y x y 5 Vì x, y nguyên x y, x y thuộc tập