PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI THỤY ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC : 2015—2016 Môn: Toán Bài (4,0 điểm) x5 x x x x P x x3 Cho biểu thức : a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P 6 Bài (4,0 điểm) a) Cho số a, b, c, d nguyên dương đôi khác thỏa mãn: 2a b 2b c 2c d 2d a 6 a b b c cd d a Chứng minh A abcd số phương 2 b) Tìm a nguyên để a 2a 7a chia hết cho a Bài (3,0 điểm) A x 1 x 1 x 3x 1 2017 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2 b) Tìm a nguyên để a 2a 7a chia hết cho a Bài (3,0 điểm) 3 a) Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn a b c 3abc Chứng minh tam giác b) Cho x, y, z dương x y z 1 Chứng minh : 1 9 x yz y xz z xy Bài (5,0 điểm) Cho O trung điểm đoạn AB Trên nửa mặt phẳng có bờ cạnh AB vẽ tia Ax, By vuông góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vng góc với OC cắt tia By D a) Chứng minh AB 4 AC.BD b) Kẻ OM CD M Chứng minh AC CM c) Từ M kẻ MH vuông góc với AB H Chứng minh BC qua trung điểm MH d) Tìm vị trí C tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ Bài (1,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 2016 x y 2015 2 x y y 2015 4031 x 2016 ĐÁP ÁN Bài x5 x x x x a) P 4x2 x3 x x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x4 x4 1 x 1 x 1 x x x x x4 P 2x 1 Vậy x b) ĐK: x 1 P 6 6 x 12 x 2x 1 x x 4 x 12 x x x 3 x 2 x (1) hoac x x 2 Ta có 1 x x 2 x 1 2 x 1 x 1 (tmdk ) x x 1 2 x x x 1 4(VN ) S 1 Vậy Bài (2) 2a b 2b c 2c d 2d a 6 a b b c cd d a a b c d 1 1 1 1 6 a b bc cd d a a b c d 2 a b b c c d d a a b c d 1 1 0 a b b c cd d a b b d d 0 a b b c c d d a b c a d a c 0 a b b c c d d a a) b c d d a d a b b c 0 abc acd bd b d 0 b d ac bd 0 b d ac bd 0 ac bd 0 ac bd A abcd ac Vậy số phương 2 b) Thực phép chia a 2a 7a cho a kết quả: a 2a a a 3 a 4a 1 Để phép chia hết 4a phải chia hết cho a 4a 1 a 3 4a 1 4a 1 a 3 ( a 4a 1 ) 16a 1 a 3 49 a 3 Tìm a, thử lại kết luận a 2;2 Bài a) A x 1 x 1 x x 1 2017 x 3x 1 x 3x 1 2017 2 x 3x 2017 x x 2016 2016 x 0 x 3x 0 x x 3 0 x Dấu " " xảy x 0 Amin 2016 x Vậy 2 x 1 x 1 x 2 b) 12 0 (*) x x 2 x 4 x 1 x x a b ab x Đặt x x Phương trình (*) trở thành: a ab 12b2 0 a 3b a 3b a 4b 0 a 4b x 1 x 2 3 x 1 x 3 x (VN ) x +Nếu a 3b x x 3(tm) x 1 x 2 x 1 x x x (tm) x x +Nếu a 4b 4 S 3; 5 Vậy Bài a b3 c 3abc a b c a b c ab bc ca a) C/m: a b c a b c ab bc ca 0 +)Từ giả thiết suy : a b c ab ac bc 0 (a b c 0) Biến đổi kết quả: a b 2 b c c a 0 a b 0 b c 0 a b c c a 0 Tam giác (đpcm) 2 b) Đặt a x yz; b y xz; c z xy a, b, c a b c x y z 1 1 1 9 a b c a b c Chứng minh: 1 1 1 9(dfcm) 9 x yz y zx z xy a b c a b c hay Bài y x D I M C K A H O B OAC DBO( g g ) OA AC OA.OB AC.BD DB OB a) Chứng minh AB AB AC.BD AB 4 AC.BD 2 OAC DBO ( g g ) b) Theo câu a ta có: OC AC OC OD OA OB OD OA AC OA Mà ( dfcm) OC AC OD OB +) Chứng minh : OAC DOC c.g c ACO OCM +)Chứng minh : OAC OMC (ch gn) AC MC (dfcm) c) Ta có OAC OMC OA OM ; CA CM OC trung trực AM OC AM , Mặt khác OA OM OB AMB vng M OC / / BM (vì vng góc với AM) hay OC / / BI +)Xét ABI có OM qua trung điểm AB, song song BI suy OM qua trung điểm AI IC AC MK BK KH IC BC AC MH / / AI +) theo hệ định lý ta let ta có: Mà IC AC MK HK BC qua trung điểm MH (dfcm) d) Tứ giác ABCD hình thang vng S ABDC AC BD AB AC , BD , nên theo BĐT Cơ si ta có: Ta thấy AB AC BD 2 AC.BD 2 AB S ABDC AB AB AC BD OA Dấu " " xảy Vậy C thuộc tia Ax cách điểm A đoạn OA Bài +) Với a, b, c, d dương, ta có: a b c d b c c d d a a b c b d a d a c b c b a b d c d a b c d a c d a b b c d a c d a b F 2 2 a c ad bc b d ab cd a b c d ab ad bc cd 1 2 a b c d b c d a c d a b 4 xy x y ) (theo bất đẳng thức Mặt khác: 2 a b c d ab ad bc cd a b c d 2 a b c d 2ac 2bd a c b d 0 Suy F 2 đẳng thức xảy a c; b d +)Áp dụng F 2 với a 2016, b x, c y, d 2015 ta có: 2016 x y 2015 2 x y y 2015 4031 x 2016 Đẳng thức xảy y 2016, x 2015