136 đề hsg toán 8 thái thụy 2015 2016

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI THỤY ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC : 2015—2016 Môn: Toán Bài (4,0 điểm) x5  x  x  x  x  P  x  x3  Cho biểu thức : a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P 6 Bài (4,0 điểm) a) Cho số a, b, c, d nguyên dương đôi khác thỏa mãn: 2a  b 2b  c 2c  d 2d  a    6 a b b c cd d a Chứng minh A abcd số phương 2 b) Tìm a nguyên để a  2a  7a  chia hết cho a  Bài (3,0 điểm) A  x  1  x  1  x  3x  1  2017 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2 b) Tìm a nguyên để a  2a  7a  chia hết cho a  Bài (3,0 điểm) 3 a) Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn a  b  c 3abc Chứng minh tam giác b) Cho x, y, z dương x  y  z 1 Chứng minh : 1   9 x  yz y  xz z  xy Bài (5,0 điểm) Cho O trung điểm đoạn AB Trên nửa mặt phẳng có bờ cạnh AB vẽ tia Ax, By vuông góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vng góc với OC cắt tia By D a) Chứng minh AB 4 AC.BD b) Kẻ OM  CD M Chứng minh AC CM c) Từ M kẻ MH vuông góc với AB H Chứng minh BC qua trung điểm MH d) Tìm vị trí C tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ Bài (1,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 2016 x y 2015    2 x  y y  2015 4031 x  2016 ĐÁP ÁN Bài x5  x  x  x  x  a) P   4x2  x3   x  x  1 x  x  1   x  1    x  1  x  1  x  1  x  x  1 x   1  x  1 x4  x4 1      x  1  x  1 x  x  x  x  x4  P 2x 1 Vậy x  b) ĐK: x 1 P 6  6  x  12 x  2x 1  x  x  4 x  12 x    x    x  3  x  2 x  (1) hoac x   x  2 Ta có  1  x  x  2   x  1 2  x  1  x 1    (tmdk )  x    x 1  2    x  x     x  1  4(VN )  S  1 Vậy Bài  (2) 2a  b 2b  c 2c  d 2d  a    6 a b b c cd d a a b c d  1 1  1  1  6 a b bc cd d a a b c d     2 a b b c c d d a a b c d  1  1   0 a b b c cd d a b b d d     0 a b b c c d d a b c  a d  a  c   0  a  b  b  c  c  d   d  a a)  b  c  d   d  a   d  a  b   b  c  0  abc  acd  bd  b d 0   b  d   ac  bd  0   b  d   ac  bd  0  ac  bd 0  ac bd A  abcd  ac   Vậy số phương 2 b) Thực phép chia a  2a  7a  cho a  kết quả: a  2a  a   a  3  a     4a  1 Để phép chia hết 4a  phải chia hết cho a   4a  1  a  3   4a  1  4a  1  a  3 ( a    4a  1 )   16a  1  a  3  49 a  3 Tìm a, thử lại kết luận a    2;2 Bài a) A  x  1  x  1  x  x  1  2017  x  3x  1  x  3x  1  2017 2  x  3x    2017  x  x   2016 2016  x 0  x  3x 0  x  x  3 0   x  Dấu " " xảy  x 0 Amin 2016   x  Vậy 2 x 1  x 1   x 2 b)    12    0 (*) x  x 2  x 4 x 1 x x a b  ab  x Đặt x  x  Phương trình (*) trở thành: a  ab  12b2 0  a 3b   a  3b   a  4b  0    a  4b x 1 x 2 3   x  1  x   3  x   (VN ) x +Nếu a 3b x   x 3(tm) x 1 x 2    x  1  x     x      x  (tm) x x  +Nếu a  4b  4 S 3;   5 Vậy Bài a  b3  c  3abc  a  b  c   a  b  c  ab  bc  ca  a) C/m: a  b  c   a  b  c  ab  bc  ca  0  +)Từ giả thiết suy :  a  b  c  ab  ac  bc 0 (a  b  c  0) Biến đổi kết quả:  a  b  2   b  c    c  a  0  a  b 0   b  c 0  a b c   c  a 0 Tam giác (đpcm) 2 b) Đặt a x  yz; b  y  xz; c z  xy  a, b, c  a  b  c  x  y  z  1 1 1    9 a b c  a  b  c   Chứng minh: 1 1 1   9(dfcm)     9 x  yz y  zx z  xy a b c a b c hay Bài y x D I M C K A H O B OAC DBO( g g )  OA AC   OA.OB  AC.BD DB OB a) Chứng minh AB AB   AC.BD  AB 4 AC.BD 2 OAC DBO ( g  g )  b) Theo câu a ta có: OC AC OC OD OA OB     OD OA AC OA Mà ( dfcm) OC AC  OD OB   +) Chứng minh : OAC DOC  c.g c   ACO OCM +)Chứng minh : OAC OMC (ch  gn)  AC MC (dfcm) c) Ta có OAC OMC  OA OM ; CA CM  OC trung trực AM  OC  AM , Mặt khác OA OM OB  AMB vng M  OC / / BM (vì vng góc với AM) hay OC / / BI +)Xét ABI có OM qua trung điểm AB, song song BI suy OM qua trung điểm AI  IC  AC MK BK KH   IC BC AC MH / / AI +) theo hệ định lý ta let ta có: Mà IC  AC  MK HK  BC qua trung điểm MH (dfcm) d) Tứ giác ABCD hình thang vng  S ABDC   AC  BD  AB AC , BD  , nên theo BĐT Cơ si ta có: Ta thấy AB AC  BD 2 AC.BD 2  AB  S ABDC  AB AB  AC BD  OA Dấu " " xảy Vậy C thuộc tia Ax cách điểm A đoạn OA Bài +) Với a, b, c, d dương, ta có: a b c d    b c c d d  a a b c   b d  a d  a  c b  c b a  b  d  c  d   a          b  c  d  a  c  d   a  b  b c d a   c d a b  F 2 2 a  c  ad  bc b  d  ab  cd  a  b  c  d  ab  ad  bc  cd     1 2 a  b  c  d    b  c  d  a  c  d  a  b   4 xy   x  y  ) (theo bất đẳng thức Mặt khác: 2  a  b  c  d  ab  ad  bc  cd    a  b  c  d  2 a  b  c  d  2ac  2bd  a  c    b  d  0 Suy F 2 đẳng thức xảy  a c; b d +)Áp dụng F 2 với a 2016, b x, c  y, d 2015 ta có: 2016 x y 2015    2 x  y y  2015 4031 x  2016 Đẳng thức xảy  y 2016, x 2015