Đang tải... (xem toàn văn)
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI THỤY ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2022 2023 MÔN TOÁN 8 Bài 1 (3 điểm) Cho 1) Phân tích P thành nhân tử 2) Tìm các giá trị nguyên của để giá trị của P là[.]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI THỤY ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2022-2023_MƠN TỐN Bài (3 điểm) Cho P n n 5n 1) Phân tích P thành nhân tử 2) Tìm giá trị nguyên n để giá trị P số nguyên tố Bài (4 điểm) Cho hai biểu thức A x3 x x 2022 x B x x x5 x x3 x 1) Rút gọn A 2) Tính B A Bài (4 điểm) x2 x4 x2 2x 2 x x 1 1) Giải phương trình x 3x 2 2) Tìm x nguyên, y nguyên thỏa mãn 3x y xy x y 1 Bài (3 điểm) 1) Cho đa thức f x x 2021 x 2020 x 2019 x x ax b đa thức g x x2 f x g x Tìm a , b để đa thức chia hêt cho đa thức 3 2) Cho x nguyên, y nguyên thỏa mãn x y 3x x y 0 Chứng minh C x y số phương Bài (5 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB BC , vẽ AH BD H, vẽ HE AD tai E, vẽ HF AB F, EF cắt AH O, AC cắt EF, BD I K 1) Chứng minh AFHE hình chữ nhật AF AE 1 2) Chứng minh AB AD 3) Chứng minh AI AC AF AB 4) Trên tia đối tia FE lấy điểm M cho AM MC Chứng minh AM MH Bài (1 điểm) Cho x 0 Tìm giá trị nhỏ Q 14 x 2022 x4 1 8x4 x2 ĐÁP ÁN Bài (3 điểm) Cho P n n 5n 3) Phân tích P thành nhân tử P n n 5n n n n 5n n n 5n n n 5n 4) Tìm giá trị nguyên n để giá trị P số nguyên tố Có P n n 5n 2 Vì n nguyên nên n nguyên n 5n nguyên 2 Có n 2 nên P số nguyên tố P n n 5n 1 n 2 P 6( ktm) n 5n 1 n 5n 0 n 3 P 11(tm) Ta có Vậy n 3 Bài (4 điểm) Cho hai biểu thức A x3 x x 2022 x B x x x5 x x3 x 3) Rút gọn A Có x x 1 x x 1 Có x x x x 1 x x 1 x x x 1 x x 1 , A Có x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x x 1 x x x 1 Vậy A 4) Tính B A A x x x 0 x x 1 x B x x x x 1 2021x x x x3 x x x x 1 x x 1 2021x x x x 1 x 2021x 2021 x Vậy B 2021 2A=-1 Bài (4 điểm) x2 x4 x2 2x 2 x x 1 3) Giải phương trình x x x2 x4 x2 2x 2 x x 1 Ta có : x 3x 2 x x x 1 2x 2 0 2 x 1 3x x x 1 2 x x x 1 x 0 x2 1 3x x x 1 x2 1 x2 2 0 x 1 3x x x 1 x2 1 x 2 x 2 x 1 3x x x 1 Vậy phương trình có nghiệm x 2 4) Tìm x nguyên, y nguyên thỏa mãn 3x y xy x y 1 2 Ta có : 3x y xy x y 1 2 y x 1 y x 1 x x x 1 1 2 y x 1 x x 1 y x 1 x 1 4 2 y x 1 x 1 Do x, y nguyên nên số phương y x 1 4 x; y 1;0 ; 1; x 1 0 Vậy có Bài (3 điểm) 3) Cho đa thức g x x Ta có f x f x x 2021 x 2020 x 2019 x x ax b đa thức f x g x Tìm a , b để đa thức chia hêt cho đa thức chia hết cho g x f x g x q x f x x 1 q x Thay x 1 f 1 0.q 1 0 2020 a b 0 1 Thay x f 1 0.q 1 0 a b 0 Cộng 1 (2) theo vế ta : 2b 2020 0 b 1010 a 1010 Vậy a 1010, b 1010 3 4) Cho x nguyên, y nguyên thỏa mãn x y 3x x y 0 Chứng minh C x y số phương 3 Ta có x y 3x x y 0 x x x y x y 0 x 1 y x y 0 y 3y2 x 1 x 1 y y x 2 Thấy 2 C x y x x 1 x 1 Nên x y 0 y x Ta có Suy C số phương Bài (5 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB BC , vẽ AH BD H, vẽ HE AD tai E, vẽ HF AB F, EF cắt AH O, AC cắt EF, BD I K M A F B I O E H O D C 5) Chứng minh AFHE hình chữ nhật gt EAF 90 Có ABCD hình chữ nhật Có HE AD AEH 90 , HF AB AFH 90 Suy AFHE hình chữ nhật AF AE 1 6) Chứng minh AB AD AF DH AB DB (Định lý Talet) Có AB AD HF AB nên HF / / AD AE BH HE / / AB AB AD , HE AD AD DB (định lý Ta let ) Có nên AF AE DH BH DH BH DB 1 dfcm AB AD DB DB DB DB 7) Chứng minh AI AC AF AB Ta có AFHE hình chữ nhật nên AH EF O trung điểm AH, EF Nên OA OH OE OF OFA cân O nên AFI FAH Ta có ABCD hình chữ nhật nên AC BD K trung điểm AC BD Suy KA KC KB KD ABK cân K FAI ABH Suy AFI FAI FAH ABH 90 AH BD AIF 90 Xét tam giác AIF tam giác ABC có : A chung, AIF ABC 90 AIF ∽ ABC ( g g ) AI FA AI AC FA AB AB AC 8) Trên tia đối tia FE lấy điểm M cho AM MC Chứng minh AM MH Chứng minh Chứng minh AMI ∽ ACM ( g.g ) AM AC AM AI AC AI AM AFH ∽ AHB ( g g ) AF AH AH AF AB AH AB 2 Mà AF AB AI AC AM AH AM AH 14 x Q 2022 x 1 8x4 x2 Bài (1 điểm) Cho x 0 Tìm giá trị nhỏ 1 , A, B Chứng minh A B A B Ta có : P 1 4 2022 2022 2 2 x 1 x x 1 x x 1 x 1 4 2x 1 2021 1 2021 2021 2 x 1 x 1 x 4 x x 1 x 2 1 2 x Dấu xảy : Vậy Pmin 2021 x ... AM AH AM AH 14 x Q 2 022 x 1 8x4 x2 Bài (1 điểm) Cho x 0 Tìm giá trị nhỏ 1 , A, B Chứng minh A B A B Ta có : P 1 4 2 022 2 022 2 2 x 1 x x 1 x x 1 x 1...Bài (1 điểm) Cho x 0 Tìm giá trị nhỏ Q 14 x 2 022 x4 1 8x4 x2 ĐÁP ÁN Bài (3 điểm) Cho P n n 5n 3) Phân tích P thành nhân tử P... tam giác ABC có : A chung, AIF ABC 90 AIF ∽ ABC ( g g ) AI FA AI AC FA AB AB AC 8) Trên tia đối tia FE lấy điểm M cho AM MC Chứng minh AM MH Chứng minh Chứng minh AMI ∽ ACM