Đang tải... (xem toàn văn)
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI THỤY ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2022 2023 MÔN TOÁN LỚP 8 Câu 1 (3,0 điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử 2) Cho , chứng minh chia hết cho 5 Câu 2 (4,0 điểm) Cho bi[.]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI THỤY ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2022-2023 MƠN TỐN LỚP Câu (3,0 điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử : xy x y x y 2) Cho n Z , chứng minh n n chia hết cho P Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức x2 x x 1 x2 : x2 x 1 x x x2 x 1) Tìm điều kiện xác định rút gọn P 2) Tìm x để P 3) Chứng minh x P 4 Câu (4,0 điểm) 2 1) Tìm x,y nguyên thỏa mãn : x y x 12 y 24 0 x5 x4 x x x 6 x2 x3 1 2) Giải phương trình Câu (2,0 điểm) A x x x ax b Tìm a, b để đa thức chia hết cho đa thức B( x) x x Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) có AD phân giác, M N hình chiếu vng góc D AB, AC , E giao điểm BN DM , F giao điểm CM DN 1) Chứng minh tứ giác AMDN hình vng AB.DC AC BD 2) Chứng minh EF / / BC 3) Gọi H giao điểm BN CM Chứng minh ANB ∽ NFA H trực tâm AEF Câu (1,0 điểm) Cho x, y thỏa mãn 32 x y 1 Tìm giá trị lớn biểu thức x y 2021 A 2022 x y 2022 x y 3033 ĐÁP ÁN Câu (3,0 điểm) 3) Phân tích đa thức thành nhân tử : xy x y x y 2 xy x y x y xy x y x y xy x y xy 1 2( xy 1) xy 1 x y 4) Cho n Z , chứng minh n n chia hết cho n5 n n n 1 n n 1 n 1 n 1 n n 1 n 1 n n n 1 n 1 n n 5n n 1 n 1 5 P Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức x2 x x 1 x2 : x2 x 1 x x x2 x 4) Tìm điều kiện xác định rút gọn P ĐKXĐ: x 0; x 1 x 1 x2 x x x x 1 x 1 x 1 x x P : : x x 1 x x x x ( x 1) x x 1 x x 1 x x 1 x2 x 1 x x 5) Tìm x để P x2 1 P x 1 x x x x 0 x x 1(ktm) x x 1 x 1 0 x 1 x 1 0 x (tm) x Vậy 2P-1khi 6) Chứng minh x P 4 x2 x2 1 1 x 1 x 2 x x x x Vậy P 4 x>1 P x 1 4(cos i) x Câu (4,0 điểm) 2 3) Tìm x,y nguyên thỏa mãn : x y x 12 y 24 0 x y x 12 y 24 0 x x 1 y 12 y 21 0 2 x 1 y 21 x y x y 1 21 Vì x, y Z x y x y số nguyên 2x 3y 1 21 7 3 21 2x 3y x 21 1 6 3 7 3 21 4 4 ( ktm) (ktm) y ( ktm) Vậy cặp số nguyên (x;y) cần tìm 6; , 3;0 , 2;0 ; 5; x5 x4 x 8x x 6 x2 x3 1 4) Giải phương trình x5 x x 1 8x x 1 P x 4x x 1 2 Đặt x x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x4 x4 1 x 1 x 1 x 1 x Với x4 1 6 x 12 x x x 4 x 12 x x 1 x 2 x x 1 2 2 x x 3 x x VN P 6 Vậy phương trình có nghiệm x 1 (ktm) Câu (2,0 điểm) A x x x3 ax b Tìm a, b để đa thức chia hết cho đa thức B( x) x x Đặt phép chia cột dọc ta có : A( x ) B( x) x a 40 x b 64 a 40 0 A x B x b 64 0 a 40 b 64 a 40 Vậy b 64 Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) có AD phân giác, M N hình chiếu vng góc D AB, AC , E giao điểm BN DM , F giao điểm CM DN B M E H A D F N 4) Chứng minh tứ giác AMDN hình vng AB.DC AC.BD Chứng minh AMD 90 ; AND 90 , MAN 90 C AMDN hình chữ nhật Hình chữ nhật AMDN có AD phân giác MAN nên tứ giác AMDN hình vng AB BD AB.DC AC BD Tam giác ABC có AD phân giác nên AC DC 5) Chứng minh EF / / BC FM DB DB MB 1 2 Chứng minh FC DC , Chứng minh DC MA MB MB MB EM AM DN 3 4 MA DN Chứng minh , chứng minh DN ED EM FM EF / / DC Từ (1), (2), (3), (4) suy ED FC (Định lý Talet đảo) Nên EF//BC 6) Gọi H giao điểm BN CM Chứng minh ANB ∽ NFA H trực tâm AEF Chứng minh AN DN AN DN DN CN 5 6 AB AB , chứng minh AB CA CN FN FN FN 7 8 Chứng minh CA AM Chứng minh AM=AN AM AN AN FN ANB ∽ NFA(c.g c ) Từ (5), (6), (7), (8) suy AB AN *Chứng minh H trực tâm tam giác AEF Vì ANB ∽ NFA NBA FAN mà BAF FAN 90 NBA BAF 90 EH AF Tương tự ta có FH AE 10 Từ (9) (10 ) suy H trực tâm tam giác AEF Câu (1,0 điểm) Cho x, y thỏa mãn 32 x y 1 Tìm giá trị lớn biểu A thức x y 2021 2022 x y 2022 x y 3033 Chứng minh BĐT phụ : Với A, B > ta có * A2 A3 B A B * AB B A B A2 AB B A2 AB B 0 A2 AB 3B 0 A B 0 ( Luon dung ) Áp dụng ta có : 32 x y 4 x y x y x y 1 Lại có : 1 1 2022 x y 2022 x y 3033 2022 x 2022 y 2022 2022 2 2 2021 A 2022 20222 Dấu xảy x y 0,5 Vậy Max A 2022 x y 0,5 ... Lại có : 1 1 2 022 x y 2 022 x y 3033 2 022 x 2 022 y 2 022 2 022 2 2 2021 A 2 022 2 0222 Dấu xảy x y 0,5 Vậy Max A 2 022 x y 0,5 ... cần tìm 6; , 3;0 , 2;0 ; 5; x5 x4 x 8x x 6 x2 x3 1 4) Giải phương trình x5 x x 1 8x x 1 P x 4x x 1 2 Đặt x x 1 x 1... AB AB , chứng minh AB CA CN FN FN FN 7 8? ?? Chứng minh CA AM Chứng minh AM=AN AM AN AN FN ANB ∽ NFA(c.g c ) Từ (5), (6), (7), (8) suy AB AN *Chứng minh H trực tâm tam giác AEF