ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mơn: Tốn lớp Thời gian làm : 150 phút Câu (2,0 điểm) B= Rút gọn biểu thức x3 − y − z − 3xyz ( x + y) + ( y − z) + ( x + z) 2 Câu (4,0 điểm) a) Tìm số dư phép chia đa thức x + x + 12 x ( x + 1) ( x + 3) ( x + 5) ( x + ) + x3 − x + x − x2 + cho b) Tìm số nguyên cho chia hết cho Câu (4,0 điểm) Giải phương trình: 3 1 3 x + 3÷ + x − ÷ + ( − x) = 4 4 a) 3− x − x x ÷ x + ÷= x +1 x + b) Câu (4,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 3x + + x + − x + a) 14 x − x + B= 3x + x + b) Câu (4,0 điểm) M,D ABC Cho tam giác cân A tương ứng trung điểm BC, AM H hình chiếu M CD AH cắt BC N, BH cắt AM E Chứng minh ∆MHD : ∆CMD a) ∆ABN E b) trực tâm Câu (2,0 điểm) ABCD M Cho hình chữ nhật Gọi trung điểm cạnh CD N · AC BNM = 900 điểm đường chéo cho Gọi F điểm đối xứng A qua FB ⊥ AC N Chứng minh ĐÁP ÁN Câu Ta có: x3 − y − z − 3xyz = ( x − y ) + xy ( x − y ) − z − xyz = ( x − y − z ) + ( x − y ) z ( x − y − z ) + xy ( x − y − z ) = ( x − y − z ) ( x − y − z ) + 3xz − yz + xy = ( x − y − z ) ( x + y + z − xy − xz + yz + xz − yz + 3xy ) = ( x − y − z ) ( x + y + z + xy − yz + xz ) *) ( x + y ) + ( y − z ) + ( x + z ) 2 = x + xy + y + y − yz + z + x + xz + z = ( x + y + z + xy − yz + xz ) B= Vậy Câu ( x − y − z ) ( x + y + z + xy − yz + xz ) ( x + y + z + xy − yz + xz ) = x− y−z f ( x ) = ( x + 1) ( x + 3) ( x + ) ( x + ) + a) Đặt A = ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) + Ta có: = ( x + x + ) ( x + x + 15 ) + = ( x + x + ) ( x + x + 12 ) + 3 + = ( x + x + ) ( x + x + 12 ) + ( x + x + ) + = ( x + x + ) ( x + x + 12 ) + ( x + x + 12 ) + − 15 = ( x + x + 12 ) ( x + x + 10 ) − f ( x) −6 cho B = x3 − x + x − C = x2 + b) Thực phép chia đa thức cho , ta được: x − 2; 4x − Đa thức thương: đa thức dư: Vậy số dư phép chia x + x + 12 x − x + x − = ( x + 3) ( x − ) + x − Suy : BM ( x2 + 3) ⇔ ( x − 1) M( 3x + 3) (1) Do x ≠ vs x ≠ −1 Vì nên: ( 1) ⇒ ( x − 1) ( x + 1) Mx + ⇒ ( 16 x − 1) M ( x + 3) ⇒ 16 ( x + 3) + 49M( x + 3) ⇒ 49M( x + 3) x2 + ≥ Vì nên xảy tong hai trường hợp sau: • x + = 49, khơng có giá trị thỏa mãn x = 2(tm) •x2 + = ⇒ x2 = ⇔ x = −2(ktm) Vậy x=2 Câu a= a) Đặt x + 3; b = x − ⇒ a + b = x − ⇒ − x = − ( a + b ) 4 ⇔ a + b3 − ( a + b ) = Ta có (pt đề) ⇔ a + b3 − a − b3 − 3ab ( a + b ) = ⇔ −3ab ( a + b ) = 1 4 x + = x = −12 a = 16 ⇔ b = ⇔ x − = ⇔ x = 4 a + b = x −1 = x =1 Vậy 16 S = −12; ;1 x ≠ −1 b) ĐKXĐ: 3− x 3x − x x + x − − x − x x x + = ⇔ =2 ÷ ÷ x + x + x + x + ( 3x − x ) ( x ⇔ 2 ( x + 1) + 3) =2 ⇒ 3x3 + x − x − 3x = x + x + ⇔ x − x3 + x − x + = ⇔ ( x − 1) ( x − x + ) = x −1 = x = 1(tm) ⇔ ⇔ VN x − x + = Vậy Câu S = { 1} a ≥ a, ⇔ a ≥ 0, "=" a) Áp dụng tính chất dấu xảy ta có: A = 3x + + x + − x + ≥ x + + x − − x + = ⇒ A ≥ Dấu “=” xảy ⇔ 3x + ≥ A = ⇔ x ≥ Vậy B− −1 x+2≥0⇔ x≥ 14 x − x + = − 3x + x + −1 x ≥ −2 b) Ta có 14 x − x + ) − ( x + x + ) 12 x − 12 x + ( x − 1) ( = = = ( x + x + 3) ( x + x + 3) ( x + 1) + ⇔ x≥− x, ( x − 1) ≥ 0, ( x + 1) + ≥ > 2 Với ta có: 2 x − 1) ( 2 ⇒ ≥ ⇔ B − ≥ ⇒ B ≥ ⇔ x = 3 ( x + 1) + Câu a) Vì M trung điểm BC nên AM đường trung tuyến ∆ABC ∆ABC Mà cân A (gt) nên AM đường cao · · · · MHD = CMD = 900 ; MDH = CDM ∆MHD ∆CMD Xét có: ⇒ ∆MHD : ∆CMD ( g g ) b) ∆MHD : ∆CMD (câu a) HD HM HD HM ⇒ = ⇒ = (Vi MD CM AD BM Mặt khác ta có: MD = AD, CM = BM ) ·ADH = 900 + DMH · · = BMH ∆ABC Suy ∆HDA : ∆HMB(c.g c) ·AHD = BHM · · ⇒ ·AHB = DHM = 900 ⇒ BH ⊥ AN Do đó: Kết hợp với AM ⊥ BC ⇒ E trực tâm ∆ABN Câu Gọi I trung điểm BF, đường thẳng NI cắt BC E ⇒N F AF Ta có: đối xứng với A qua N (gt) trung điểm ∆ABF Mà I trung điểm BF nên NI đường trung bình ⇒ NI / / AB, NI = AB Mặt khác AB / / CD; AB = CD AB ⊥ BC ; CM = ⇒ Tứ giác CD CINM suy (ABCD hình chữ nhật M trung điểm CD) NI ⊥ BC ; NI / / CM hình bình hành ⇒ CI / / MN NI = CM ( ) · MN ⊥ BN BNM = 900 ⇒ CK ⊥ BN Mà Do I trực tâm ∆BCN ⇒ BF ⊥ AC K