PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHĨA BÌNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Mơn: TỐN Năm học : 2015-2016 Bài (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1.x + x + 2.x + 2008 x + 2007 x + 2008 Bài (2 điểm) Giải phương trình: 1) x − x + + x − = 2 1 1 2)8 x + ÷ + x + ÷ − x + ÷ x + ÷ = ( x + ) x x x x Bài (2 điểm) CMR với a , b, c ( a + b + c ) số dương, ta có: Tìm số dư phép chia biểu thức 1 1 + + ÷≥ a b c ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2008 x + 10 x + 21 cho đa thức Bài (4 điểm) A ( AC > AB ) AH ( H ∈ BC ) ABC Cho tam giác vuông , đường cao Trên tia HC HD = HA BC AC E Đường vng góc với D cắt BEC ADC 1) Chứng minh hai tam giác đồng dạng Tính độ dài đoạn lấy điểm D cho BE theo m = AB 2) Gọi M BEC 3) Tia trung điểm đoạn BE đồng dạng Tính số đo AM cắt BC Chứng minh hai tam giác BHM ·AHM GB HD = BC AH + HC G Chứng minh ĐÁP ÁN Bài 1) x2 + x + = x2 + x + x + = x ( x + 1) + ( x + 1) = ( x + ) ( x + 1) 2) x + 2008 x + 2007 x + 2008 = x + x + 2007 x + 2007 x + 2007 + = x + x + + 207 ( x + x + 1) = ( x + 1) − x + 2007 ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x − x + 1) + 2007 ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x − x + 2008 ) Bài x − x + + x − = ( 1) 2.1 x ≥ 1: ( 1) ⇔ ( x − 1) = ⇔ x = x ≥ 1) Nếu (thỏa mãn điều kiện 2 x < 1: ( 1) ⇔ x − x + = ⇔ x − x − ( x − 1) = Nếu x = (ktm) ⇔ ( x − 1) ( x − 3) = ⇔ x = (ktm) ( 1) x =1 Vậy phương trình có nghiệm 2.2 2 1 1 x + ÷ + x + ÷− x + ÷ x + ÷ = ( x + ) (2) x x x x Điều kiện để phương trình có nghiệm: x≠0 2 1 1 ( ) ⇔ x + ÷ + x + ÷ x + ÷− x + ÷ = ( x + ) x x x x 1 2 ⇔ x + ÷ − x + ÷ = ( x + ) ⇔ ( x + ) = 16 x x x = 0(ktm) ⇔ x = −8(tm) Vậy phương trình cho có nghiệm x = −8 Bài 3.1 Ta có: a a b b c c 1 1 A = ( a + b + c ) + + ÷= + + + + + + + + b c a c a b a b c a b a c c b = + + ÷+ + ÷+ + ÷ b a c a b c Mà x y + ≥2 y x (BĐT Cô si) A≥3+ 2+ 2+ = A≥9 Do đó: Vậy 3.2 Ta có: P ( x) = ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2008 = ( x + 10 x + 16 ) ( x + 10 x + 24 ) + 2008 t = x + 10 x + 21( t ≠ −3; t ≠ −7 ) Đặt , Biểu thức P ( x ) = ( t − ) ( t + 3) + 2008 = t − 2t + 1993 Do chia Bài t − 2t + 1993 P( x) viết lại t 1993 cho ta có số dư ADC BEC µ C 1) Hai tam giác có: chung; CD CA = CE CB (hai tam giác vuông CDE CAB đồng dạng) ∆ADC : ∆BEC Do · BEC = ·ADC = 1350 Suy (vì tam giác AHD vng cân H theo giả thiết) ·AEB = 450 , ∆ABE Nên vng cân A BE = AB = m Suy : BM BE AD = = ( ∆BEC : ∆ADC ) BC BC AC 2) Ta có AD = AH Mà (tam giác AHD vuông cân H) BM AD AH BH BH = = = = ∆ABH : ∆CBA) BC AC AC AB BE Nên (do · · ∆BHM : ∆BEC (c.g c ) ⇒ BHM = BEC = 1350 ⇒ ·AHM = 450 Do đó: · BAC ABE AM 3) Tam giác vuông cân A, nên tia tia phân giác GB AB AB ED = , = GC AC AC DC Suy : mà AH HD ( ∆ABC : ∆DEC ) = ( ED / / AH ) = HC HC Do đó: GB HD GB HD GB HD = ⇒ = ⇒ = GC HC GB + GC HD + HC BC AH + HC ... ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 20 08 = ( x + 10 x + 16 ) ( x + 10 x + 24 ) + 20 08 t = x + 10 x + 21( t ≠ −3; t ≠ −7 ) Đặt , Biểu thức P ( x ) = ( t − ) ( t + 3) + 20 08 = t − 2t + 1993 Do chia Bài... x + ÷ − x + ÷ = ( x + ) ⇔ ( x + ) = 16 x x x = 0(ktm) ⇔ x = ? ?8( tm) Vậy phương trình cho có nghiệm x = ? ?8 Bài 3.1 Ta có: a a b b c c 1 1 A = ( a + b + c ) + + ÷= + + + + + + +... ÁN Bài 1) x2 + x + = x2 + x + x + = x ( x + 1) + ( x + 1) = ( x + ) ( x + 1) 2) x + 20 08 x + 2007 x + 20 08 = x + x + 2007 x + 2007 x + 2007 + = x + x + + 207 ( x + x + 1) = ( x + 1) − x + 2007