PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO CẨM GIÀNG ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC : 2015-2016 MƠN: TỐN LỚP Thời gian làm bài: 150 phút Câu (2,0 điểm) a3 − 4a − a + P= a − 7a + 14a − a) Rút gọn biểu thức: f ( x) f ( x) f ( x) x+2 x−2 b) Tìm đa thức biết : chia cho dư 10, chia cho f ( x) x2 − −5x dư 26, chia cho thương dư Câu (2,0 điểm) Giải phương trình a) x + 43 x + 46 x + 49 x + 52 + = + 57 54 51 48 b) ( x + 3) ( x + ) ( x + 5) = Câu (2,0 điểm) Q = n3 + ( n + 1) + ( n + ) M 3 n∈¥ * a) Chứng minh rằng: với a , b, c b) Cho cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c A= + + ≥3 b+c−a a+c−b a+b−c Câu (3,0 điểm) AE , BF , CG Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) Các đường cao cắt a a H Gọi M trung điểm BC, qua H vẽ đường thẳng vuông góc với HM, AB, AC cắt I K a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác EFC IK , b C b) Qua kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng cắt AH, AB theo NC = ND, HI = HK N thứ tự D Chứng minh c) Chứng minh AH BH CH + + >6 HE HF HG Câu (1,0 điểm) Cho a , b, c ba số dương thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: 1 + + ≥ a ( b + c) b ( c + a) c ( a + b) ĐÁP ÁN Câu a ( a − 1) − ( a − 1) a − 1) ( a − ) ( a − 4a − a + P= = = a − a + 14a − ( a − ) − 7a ( a − ) ( a − ) ( a − 5a + ) = a) ( a − 1) ( a + 1) ( a − ) ( a − ) ( a − 1) ( a − ) P= Vậy b) Giả sử a +1 a−2 f ( x) với = a +1 a−2 a ≠ { 1;2;4} chia cho x2 − thương −5x dư f ( x) = ( x − ) ( −5 x ) + ax + b Theo đề bài, ta có: f ( ) = 26 2a + b = 26 a = ⇔ ⇔ f ( −2 ) = 10 −2a + b = 10 b = 18 Do f ( x ) = ( x − ) ( −5 x ) + x + 18 Vậy đa thức Câu f ( x) cần tìm f ( x) = ( x − ) ( −5 x ) + x + 18 ax + b Khi x + 43 x + 46 x + 49 x + 52 +1+ +1= +1+ +1 57 54 51 48 x + 100 x + 100 x + 100 x + 100 ⇔ + − − =0 57 54 51 48 1 ⇔ ( x + 100 ) + − − ÷ = ⇔ x = −100 57 54 51 48 a) pt ⇔ ( x + 3) ( x + ) ( x + ) = b) ⇔ ( x + 3) ( x + ) ( x + ) = ⇔ ( x + 16 x + 15 ) ( x + x + ) = 3(2) Đặt y = x + x + ⇒ x + 16 x + 16 = y − y =1 4 y + = ( ) ⇔ y ( y − 1) − = ⇔ ( y − 1) ( y − 3) = ⇔ Khi +) +) x = −1 y = ⇔ x2 + 4x + = ⇔ x = −3 y + ⇔ x + 16 x + 16 + = 0(VN ) Vậy S = { −1; −3} Câu Q = n3 + ( n + 1) + ( n + ) 3 a) = n3 + ( n3 + 3n + 3n + 1) + ( n3 + 6n + 12n + ) = ( n3 + 3n + 5n + 3) C = n3 + 3n + 5n + = n3 + n + 2n + 2n + 3n + Đặt = n ( n + 1) + 2n ( n + 1) + ( n + 1) = n ( n + 1) ( n + ) + ( n + 1) n ( n + 1) ( n + ) Ta thấy chia hết cho 3( tích số tự nhiên liên tiếp) ( n + 1) M3 ⇒ C Và chia hết cho Q = 3C Nên chia hết cho b + c − a = x > 0; c + a − b = y > 0; a + b − c = z > b) Đặt y+z x+z x+ y a= ;b = ;c = 2 Từ suy Thay vào biểu thức A ta được: y + z x + z x + y y x x z y z A= + + = + ÷+ + ÷+ + ÷ 2x 2y 2z x y z x z y ⇒ A≥ [ + + 2] ⇔ A ≥ Câu ∆AEC : ∆BFC ( g g ) ⇒ a) Ta có ∆ABC ∆EFC Xét có ⇒ ∆ABC : ∆EFC (cgc) CE CA = CF CB CE CA µ = , C CF CB chung CN / / IK , HM ⊥ IK ⇒ HM ⊥ CN ⇒ M ∆HNC b) Vì trực tâm ∆ABC ) ⇒ MN / / AD ⇒ MN ⊥ CH CH ⊥ AD mà (H trực tâm ⇒ NC = ND M Do trung điểm BC IH AH HK AH = (Vi IH / / DN ) = (Vi KH / / CN ) DN AN CN AN ⇒ IH = IK c) Ta có: AH S AHC S ABH S AHC + S ABH S AHC + S ABH = = = = HE SCHE S BHE SCHE + S BHE S BHC BH S BHC + S BHA CH S BHC + S AHC = ; = HF S AHC HG S BHA Tương tự ta có: AH BH CH S AHC S ABH S BHC S BHA S BHC S AHC ⇒ + + = + + + + + ≥6 HE HF HG S BHC S BHC S AHC S AHC S BHA S BHA Dấu "=" xảy ∆ABC mà theo gt AB < AC nên không xảy dấu Câu Trước tiên ta chứng minh BĐT: a b2 c ( a + b + c ) + + ≥ x y z x+ y+z Thật vậy, với a, b ∈ ¡ ∀a, b, c ∈ ¡ , x, y, z > x, y > (*) Dấu ta có: ⇔ ( a y + b x ) ( x + y ) ≥ xy ( a + b ) ⇔ ( bx − ay ) ≥ 0(luon dung ) Dấu "=" ⇔ xảy a b = x y Áp dụng BĐT (**) ta có: ta có: "=" a b c = = x y z ⇔ xảy a b2 ( a + b ) + ≥ x y x+ y (**) a b2 c ( a + b ) c2 ( a + b + c ) + + ≥ + ≥ x y z x+ y z x+ y+z Dấu "=" ⇔ xảy a b c = = x y z Ta có: 1 2 1 a b c2 + + = + + a ( b + c ) b3 ( c + a ) c ( a + b ) ab + ac bc + ab ac + bc Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: 1 2 a + b + c ≥ ab + ac bc + ab ac + bc Hay Mà 1 2 11 1 a + b + c ≥ + + ÷ ab + ac bc + ab ac + bc a b c 1 1 + + ÷≥ a b c nên 1 2 a + b + c ≥ ab + ac bc + ab ac + bc 1 + + ≥ a ( b + c) b ( c + a) c ( a + b) Vậy 2 1 1 1 1 + + ÷ + + ÷ a b c = a b c (Vi ( ab + ac + bc ) 1 1 2 + + ÷ a b c abc = 1)