131 đề hsg toán 8 cẩm giàng 2015 2016

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO CẨM GIÀNG ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC : 2015-2016 MƠN: TỐN LỚP Thời gian làm bài: 150 phút Câu (2,0 điểm) a  4a  a  P a  a  14a  a) Rút gọn biểu thức: b) Tìm đa thức f ( x) biết : f ( x) chia cho x  dư 10, f  x  chia cho x  2 dư 26, f  x  chia cho x  thương  5x dư Câu (2,0 điểm) Giải phương trình a) x  43 x  46 x  49 x  52    57 54 51 48 b)  x  3  x    x   3 Câu (2,0 điểm) 3 a) Chứng minh rằng: Q n   n  1   n   9 với n   * b) Cho a, b, c cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c A   3 b c  a a c  b a b  c Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) Các đường cao AE , BF , CG cắt H Gọi M trung điểm BC, qua H vẽ đường thẳng a vng góc với HM, a cắt AB, AC I K a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác EFC b) Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK , b cắt AH, AB theo thứ tự N D Chứng minh NC ND, HI HK AH BH CH   6 HE HF HG c) Chứng minh Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn abc 1 Chứng minh rằng: 1    a  b  c  b3  c  a  c  a  b  ĐÁP ÁN Câu a  a  1   a  1 a  1  a    a  4a  a  P   a  7a  14a   a    7a  a    a    a  5a    a)  a  1  a  1  a    a   a    a  1  a   a  Vậy P a 1 a  với a  1;2;4 b) Giả sử f  x  chia cho x  thương  5x dư ax  b Khi f ( x)  x     x   ax  b Theo đề bài, ta có:  f   26 2a  b 26      a  b  10 f   10     Do a 4  b 18 f  x   x     x   x  18 f ( x)  x     x   x  18 f x   Vậy đa thức cần tìm Câu x  43 x  46 x  49 x  52 1  1  1  1 57 54 51 48 x  100 x  100 x  100 x  100     0 57 54 51 48 1     x  100       0  x  100  57 54 51 48  a) pt  b)  x  3  x    x   3   x  3  x    x   3   x  16 x  15   x  x   3(2) 2 Đặt y x  x   x  16 x  16 4 y  Khi  y 1  y  0    y  y  1  0   y  1  y  3 0    x  y 1  x  x  1    x  +) +) y   x  16 x  16  0(VN ) Vậy S   1;  3 Câu 3 Q  n   n  1   n   a) n3   n3  3n2  3n  1   n3  6n2  12n   3  n3  3n  5n  3 3 2 Đặt C n  3n  5n  n  n  2n  2n  3n  n  n  1  2n  n  1   n  1 n  n  1  n     n  1 Ta thấy n  n  1  n   chia hết cho 3( tích số tự nhiên liên tiếp) Và 3 n  1 3  C chia hết cho Nên Q 3C chia hết cho b) Đặt b  c  a x  0; c  a  b  y  0; a  b  c z  yz xz x y ;b  ;c  2 Từ suy Thay vào biểu thức A ta được: a y  z x  z x  y  y x   x         2x 2y 2z  x y   z  A     2  A 3 A z   y z     x   z y   Câu A F K G H I B E M C N D a) Ta có AEC BFC ( g g )  CE CA  CF CB CE CA   , C Xét ABC EFC có CF CB chung  ABC EFC (cgc) b) Vì CN / / IK , HM  IK  HM  CN  M trực tâm HNC  MN  CH mà CH  AD (H trực tâm ABC )  MN / / AD Do M trung điểm BC  NC ND IH AH HK AH  (Vi IH / / DN )  (Vi KH / / CN ) DN AN CN AN  IH IK AH S AHC S ABH S AHC  S ABH S AHC  S ABH     HE S S S  S S BHC CHE BHE CHE BHE c) Ta có: BH S BHC  S BHA CH S BHC  S AHC  ;  HF S HG S BHA AHC Tương tự ta có: AH BH CH S AHC S ABH S BHC S BHA S BHC S AHC          6 HE HF HG S BHC S BHC S AHC S AHC S BHA S BHA Dấu " " xảy ABC mà theo gt AB  AC nên không xảy dấu Câu Trước tiên ta chứng minh BĐT: a, b, c  , x, y, z  ta có: a b2 c  a  b  c     x y z xyz (*) Dấu " " xảy  a b c   x y z a b2  a  b    x , y  x y x  y (**) a , b   Thật vậy, với ta có:   a y  b x   x  y  xy  a  b  2   bx  ay  0(luon dung ) Dấu " " xảy  a b  x y Áp dụng BĐT (**) ta có: a b2 c  a  b  c2  a  b  c      x y z xy z xyz Dấu " " xảy Ta có:  a b c   x y z 1 2 1 a b c2      a  b  c  b3  c  a  c3  a  b  ab  ac bc  ab ac  bc Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: 2  1 1  1 1 1         a  b  c   a b c    a b c  (Vi ab  ac bc  ab ac  bc  ab  ac  bc   1 1 2     a b c 1 a  b2  c 1       ab  ac bc  ab ac  bc a b c   Hay 1 2  1 1 a  b  c      3 Mà  a b c  nên ab  ac bc  ab ac  bc Vậy 1    a  b  c  b3  c  a  c  a  b  abc 1)