131 đề hsg toán 8 sóc sơn 22 23

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN SĨC SƠN ĐỀ THI HSG TOÁN NĂM HỌC 2022-2023 Bài (5,0 điểm) Cho biểu thức C x2 y2 x2 y  x2 y3  ; D  x  y  xy  y x  y  xy  x  x  y  xy a) Tính C  D b) Tìm cặp số nguyên  x, y  để C  D 10 Bài (4,0 điểm) a) Tìm tất cặp số nguyên dương  x, y  cho số b) Cho a  a  0 Tính giá trị biểu thức P a 2020  A 4 x  y số nguyên tố a 2020 Bài (4,0 điểm) a) Giải phương trình : 1  2014 2015 4023 4024  1             503 x 1  2011 2012  2011 2012  b) Cho  x  y  z   xy  yz  zx  xyz Chứng minh x 2019  y 2019  y 2019  x  y  z  2019 Bài (6,0 điểm) a) Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, BD đường trung tuyến Qua A vẽ đường thẳng vng góc với BD cắt BC E Chứng minh EB 2 EC b) Cho tam giác ABC vuông A Từ điểm M tam giác vẽ MI  BC , MJ  CA , MK  AB  I  BC , J  AC , K  AB  Xác định vị trí điểm M 2 cho tổng MI  MJ  MK đạt giá trị nhỏ x y xy A   y x x  y2 Bài (1,0 điểm) Cho số x, y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức ĐÁP ÁN Bài (5,0 điểm) Cho biểu thức C x2 y2 x2 y  x2 y3  ; D  x  y  xy  y x  y  xy  x  x  y  xy c) Tính C  D Ta có : C x2 y2 x2 y2    x  y  xy  y x  y  xy  x  x  y    y   x  y    x   x  y   x  y    x  y   x  xy  y  x  x3  y  y     x  y  1 y  1 x  x  y  1 y  1 x   x  y  1 y  1 x  x2   x   y   y   x  y  x  xy  y 1 y 1 x  C D x  y  x  xy  y x2 y x  y  x  xy  y  x y    x  y  xy 1 y 1 x 1 x 1 y  1 x  1  y  Vậy C  D x  y  xy d) Tìm cặp số nguyên  x, y  để C  D 10 Với x  1, y 1, x  y xác định C  D xác định Mà C  D 10  x  y  xy 10   x  xy    y  1 9   x  1   y  9 Do x  Z , y  Z nên ta có x x y 1 y 1 9  10 3 2 3 4 10 9 8 1 2 Các cặp số thỏa ĐKXĐ nên  x; y   2;8 ,  0;  10  ,  4;  ,   2;   ,  10;0  ,   8;   Bài (4,0 điểm) c) Tìm tất cặp số nguyên dương nguyên tố Ta có A  với x, y  x, y  cho số A 4 x  y số A 4 x  y  x  y   x y  x  y  xy   x  y  xy   2 x  y  xy 1  2  2 x  y  xy  A  2  2 x  y  xy  A  2 x  y  xy 1 Do A số nguyên tố nên   Giải trường hợp ta  x, y   1,1 d) Cho a  a  0 Tính giá trị biểu thức P a 2020  a 2020 1 1   a  a  0   a    0 a   0 2 2  Ta có (vơ nghiệm  với a) Vậy biểu thức P khơng có giá trị Bài (4,0 điểm) c) Giải phương trình : 1  2014 2015 4023 4024  1             503 x 1  2011 2012  2011 2012  Ta có : 2014 2015 4023 4024 2014 2015 4023 4024     2013       2012 2011 2012 2011 2012  2013   2014   2015   4023   4024    1    1    1     1    1        2011   2012  1  2012 2012 2012 2012 2012 1  1 1      2012        2011 2012 2011 2012  1 1  1   1 1 1           503 x 2012       2011 2012  2011 2012   1  503x 2012  x 4 Vậy phương trình cho có tập nghiệm S  4 d) Cho  x  y  z   xy  yz  zx  xyz Chứng minh x 2019  y 2019  y 2019  x  y  z  2019 Ta có :  x  y  z   xy  yz  zx  xyz  xy  x  y  z    xy  x  y  z  z    y  x   zx  zy  z  0   y  x   xy  zx  zy  z  xyz   yz  zx   x  y  z  0  x  y 0   y  x   y  z   x  z  0   y  z  z  x Với  x 2019  y 2019  z 2019   y  2019  y 2019  z 2019  z 2019 2019 x  y    x 2019  y 2019  y 2019  x  y  z  2019 2019   y  y  z   z 2019  x  y  z  Chứng minh tương tự với trường hợp y  x z  x Ta suy đpcm Vậy x 2019  y 2019  y 2019  x  y  z  2019 Bài (6,0 điểm) c) Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, BD đường trung tuyến Qua A vẽ đường thẳng vng góc với BD cắt BC E Chứng minh EB 2 EC B H E D C A F Kẻ CF / / AE  F  AB  Khi ta có B1 A1 (vì phụ với A2 ) Mặt khác A1 C1 (hai góc so le trong)  B1 C1  ABD ∽ ACF ( g  g )  AD AF  AB AC AD AF AF AD  AC ; AB  AC ( gt )      AB AC AB Mà Mà AE / /CF  BE AB    BE 2 EC EC AF d) Cho tam giác ABC vuông A Từ điểm M tam giác vẽ MI  BC , MJ  CA , MK  AB  I  BC , J  AC , K  AB  Xác định vị trí điểm M 2 cho tổng MI  MJ  MK đạt giá trị nhỏ B H I M' M K A J C Kẻ đường cao AH tam giác vuông ABC Qua M kẻ MH / / BC cắt AH M ' Ta có MI M ' H Tứ giác AKMJ hình chữ nhật nên KJ MA 2 Mặt khác MJ  MK KJ (định lý Pytago) 2 2 2 Do MI  MJ  MK MI  MA Có M ' A MA  MI  MJ MK M ' H  M ' A2  M ' H  M ' A2 2M ' H M ' A   M ' H  M ' A2  M ' H  M ' A2  2M ' H M ' A   M ' H  M ' A2   M ' H  M ' A   AH  M ' H  M ' A2  AH 2 Dấu xảy M ' H M ' A 2 Vậy MI  MJ  MK có giá trị nhỏ M trung điểm đường cao AH tam giác ABC Bài (1,0 điểm) Cho số x, y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức x y xy A   y x x  y2 A Ta có 2  x2  y2 x2  y xy xy   x  y        xy x  y  xy x2  y2  xy x2  y xy xy    0; 0 xy x  y2 Do x  0, y  nên Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có : 3 x2  y2  x2  y xy A 2  2   2 xy x  y 2 x y  4    Dấu xảy x  y 0 Bất đẳng thức sử dụng : a  b 2ab  ab  a2  b2 a  b 2ab