PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN SĨC SƠN ĐỀ THI HSG TOÁN NĂM HỌC 2022-2023 Bài (5,0 điểm) Cho biểu thức C x2 y2 x2 y x2 y3 ; D x y xy y x y xy x x y xy a) Tính C D b) Tìm cặp số nguyên x, y để C D 10 Bài (4,0 điểm) a) Tìm tất cặp số nguyên dương x, y cho số b) Cho a a 0 Tính giá trị biểu thức P a 2020 A 4 x y số nguyên tố a 2020 Bài (4,0 điểm) a) Giải phương trình : 1 2014 2015 4023 4024 1 503 x 1 2011 2012 2011 2012 b) Cho x y z xy yz zx xyz Chứng minh x 2019 y 2019 y 2019 x y z 2019 Bài (6,0 điểm) a) Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, BD đường trung tuyến Qua A vẽ đường thẳng vng góc với BD cắt BC E Chứng minh EB 2 EC b) Cho tam giác ABC vuông A Từ điểm M tam giác vẽ MI BC , MJ CA , MK AB I BC , J AC , K AB Xác định vị trí điểm M 2 cho tổng MI MJ MK đạt giá trị nhỏ x y xy A y x x y2 Bài (1,0 điểm) Cho số x, y Tìm giá trị nhỏ biểu thức ĐÁP ÁN Bài (5,0 điểm) Cho biểu thức C x2 y2 x2 y x2 y3 ; D x y xy y x y xy x x y xy c) Tính C D Ta có : C x2 y2 x2 y2 x y xy y x y xy x x y y x y x x y x y x y x xy y x x3 y y x y 1 y 1 x x y 1 y 1 x x y 1 y 1 x x2 x y y x y x xy y 1 y 1 x C D x y x xy y x2 y x y x xy y x y x y xy 1 y 1 x 1 x 1 y 1 x 1 y Vậy C D x y xy d) Tìm cặp số nguyên x, y để C D 10 Với x 1, y 1, x y xác định C D xác định Mà C D 10 x y xy 10 x xy y 1 9 x 1 y 9 Do x Z , y Z nên ta có x x y 1 y 1 9 10 3 2 3 4 10 9 8 1 2 Các cặp số thỏa ĐKXĐ nên x; y 2;8 , 0; 10 , 4; , 2; , 10;0 , 8; Bài (4,0 điểm) c) Tìm tất cặp số nguyên dương nguyên tố Ta có A với x, y x, y cho số A 4 x y số A 4 x y x y x y x y xy x y xy 2 x y xy 1 2 2 x y xy A 2 2 x y xy A 2 x y xy 1 Do A số nguyên tố nên Giải trường hợp ta x, y 1,1 d) Cho a a 0 Tính giá trị biểu thức P a 2020 a 2020 1 1 a a 0 a 0 a 0 2 2 Ta có (vơ nghiệm với a) Vậy biểu thức P khơng có giá trị Bài (4,0 điểm) c) Giải phương trình : 1 2014 2015 4023 4024 1 503 x 1 2011 2012 2011 2012 Ta có : 2014 2015 4023 4024 2014 2015 4023 4024 2013 2012 2011 2012 2011 2012 2013 2014 2015 4023 4024 1 1 1 1 1 2011 2012 1 2012 2012 2012 2012 2012 1 1 1 2012 2011 2012 2011 2012 1 1 1 1 1 1 503 x 2012 2011 2012 2011 2012 1 503x 2012 x 4 Vậy phương trình cho có tập nghiệm S 4 d) Cho x y z xy yz zx xyz Chứng minh x 2019 y 2019 y 2019 x y z 2019 Ta có : x y z xy yz zx xyz xy x y z xy x y z z y x zx zy z 0 y x xy zx zy z xyz yz zx x y z 0 x y 0 y x y z x z 0 y z z x Với x 2019 y 2019 z 2019 y 2019 y 2019 z 2019 z 2019 2019 x y x 2019 y 2019 y 2019 x y z 2019 2019 y y z z 2019 x y z Chứng minh tương tự với trường hợp y x z x Ta suy đpcm Vậy x 2019 y 2019 y 2019 x y z 2019 Bài (6,0 điểm) c) Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, BD đường trung tuyến Qua A vẽ đường thẳng vng góc với BD cắt BC E Chứng minh EB 2 EC B H E D C A F Kẻ CF / / AE F AB Khi ta có B1 A1 (vì phụ với A2 ) Mặt khác A1 C1 (hai góc so le trong) B1 C1 ABD ∽ ACF ( g g ) AD AF AB AC AD AF AF AD AC ; AB AC ( gt ) AB AC AB Mà Mà AE / /CF BE AB BE 2 EC EC AF d) Cho tam giác ABC vuông A Từ điểm M tam giác vẽ MI BC , MJ CA , MK AB I BC , J AC , K AB Xác định vị trí điểm M 2 cho tổng MI MJ MK đạt giá trị nhỏ B H I M' M K A J C Kẻ đường cao AH tam giác vuông ABC Qua M kẻ MH / / BC cắt AH M ' Ta có MI M ' H Tứ giác AKMJ hình chữ nhật nên KJ MA 2 Mặt khác MJ MK KJ (định lý Pytago) 2 2 2 Do MI MJ MK MI MA Có M ' A MA MI MJ MK M ' H M ' A2 M ' H M ' A2 2M ' H M ' A M ' H M ' A2 M ' H M ' A2 2M ' H M ' A M ' H M ' A2 M ' H M ' A AH M ' H M ' A2 AH 2 Dấu xảy M ' H M ' A 2 Vậy MI MJ MK có giá trị nhỏ M trung điểm đường cao AH tam giác ABC Bài (1,0 điểm) Cho số x, y Tìm giá trị nhỏ biểu thức x y xy A y x x y2 A Ta có 2 x2 y2 x2 y xy xy x y xy x y xy x2 y2 xy x2 y xy xy 0; 0 xy x y2 Do x 0, y nên Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có : 3 x2 y2 x2 y xy A 2 2 2 xy x y 2 x y 4 Dấu xảy x y 0 Bất đẳng thức sử dụng : a b 2ab ab a2 b2 a b 2ab